你問的題還是有些份量的哈, 哪來的題?
解: 第1步.
設(shè)a是A的特征值.
則 a^2-a 是 A^2-A 的特征值
而 A^2-A=0
所以 a^2-a=0, a(a-1)=0.
所以 a=0 或 1.
第2步.
因為實對稱矩陣可對角化
所以存在可逆矩陣P, 使得 P^-1AP = diag(1,1,...,1,0,0,...,0) =B (記為B)
由 r(A)=r, 所以對角矩陣B=diag(1,1,...,1,0,0,...,0)中有r個1, n-r個0.
且 B^k = B.
第3步.
由P^-1AP=B得 A=PBP^-1,
且有 A^k = (PBP^-1)^k = PB^kP^-1 =PBP^-1
所以
|I+A+A^2+.+A^n|
= | I+PBP^-1+PBP^-1+...+PBP^-1 |
= |P(I+nB)P^-1|
= |I+nB|
= (1+n)^r.
滿意請采納^_^