方法一：假設(shè)根號(hào)3=p/q(p、q為互質(zhì)整數(shù)）,則p^2=3q^2
所以3整除p^2,因3是質(zhì)數(shù),所以3整除p,可設(shè)p=3t,則q^2=3t^2,所以3整除q
因此p和q有公約數(shù)3,與p和q互質(zhì)矛盾,所以根號(hào)3是無(wú)理數(shù)
方法二：設(shè)x=根號(hào)3,則有方程x^2=3
假設(shè)x^2=3有有理數(shù)解x=p/q(p、q為互質(zhì)整數(shù)）,根據(jù)牛頓有理根定理p整除3,q整除1,所以p=1或3,q=1,從而x=1或3,顯然x=1或3不是方程x^2=3的根,矛盾.
方法三：設(shè)x=根號(hào)3=p/q,(p,q)=1,所以存在整數(shù)s,t使ps+qt=1
根號(hào)3=根號(hào)3*1=根號(hào)3(ps+qt)=(√3p)s+(√3q)t=3qs+pt為整數(shù),矛盾