∵f （x）=x²+2 a|x-1|，x∈R．
（1）當(dāng)a=0時，f （x）=x²，函數(shù)是偶函數(shù)；當(dāng)a≠0時函數(shù)非奇非偶函數(shù)．…（2分）
因為f（1）=1，f（-1）=1+4a≠f（1），即a≠0時函數(shù)不是偶函數(shù)；…（3分）
當(dāng)a≠-

1

2

時f（-1）=1+4a≠-f（1），函數(shù)不是奇函數(shù)；當(dāng)a=-

1

2

時，
f（x）=x²-|x-1|，f（2）=3，f（-2）=1，f（-2）≠-f（2），所以函數(shù)不是奇函數(shù)．…（5分）
綜上，當(dāng)a=0時，f （x）=x²，函數(shù)是偶函數(shù)；當(dāng)a≠0時函數(shù)非奇非偶函數(shù)．
（2）f （x）=

x2+2ax-2a x2-2ax+2a

=

(x+a)2-a2-2a，x≥1 (x-a)2-a2 +2a，x<1

…（7分）
1° a≥1時，x≥1時，f （x）≥x²≥1=f （1）?f （x）_min=1…（8分）
x<1時，對稱軸 x=a>1?f （x） 在 （-∞，1）上為減函數(shù)?f （x）>f （1）=1
綜上，a≥1時，f （x）_min=1…（10分）
2° a<1時，若 x<1，f （x）_min=f （a）=-a²+2a=2a-a²…（11分）
而 x≥1時，f （x）_min≥-a²-2a>-a²>2a-a²…（12分）
∴a<1時，f （x）_min=2a-a²
∴f （x）_min=

1，a≥0 2a-a2，a<0

…（13分）．