猜想:(p^2-1)是24的倍數(shù),p≥5.
這個(gè)猜想證明如下:
把大于2的自然數(shù)分為3k,3k+1,3k+2三種,k∈N.
則其中3k一定是合數(shù),另外兩個(gè)可能為質(zhì)數(shù).
若3k+1為質(zhì)數(shù),則3k+2為合數(shù),且2|k,否則3k+1為合數(shù).
p^2-1=(3k+1)^2-1=9k^2+6k=3k(3k+2),
設(shè)k=2m,m為自然數(shù),則p^2-1=6m(6m+2)=24m^2+12m(m+1)
由于2|m(m+1),所以24|(p^2-1).
若3k+2為質(zhì)數(shù),則3k+1為合數(shù),且k為奇數(shù),即k=2m-1,m∈N.
p^2-1=(3k+2)^2-1=9k^2+12k+3=3(3k^2+4k+1)
=3(12m^2-12m+3+8m-4+1)=3(12m^2-4m)=12m(3m-1)
=12m(m-1)+24m^2
由于2|m(m-1),所以24|(p^2-1).
綜上,結(jié)論成立.