（1）y=x²+2x+m=（x+1）²+m-1，對稱軸為直線x=-1，
∵與x軸有且只有一個公共點(diǎn)，
∴頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0，
∴C₁的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0）；
（2）設(shè)C₂的函數(shù)關(guān)系式為y=（x+1）²+k，
把A（-3，0）代入上式得（-3+1）²+k=0，得k=-4，
∴C₂的函數(shù)關(guān)系式為y=（x+1）²-4．
∵拋物線的對稱軸為直線x=-1，與x軸的一個交點(diǎn)為A（-3，0），
由對稱性可知，它與x軸的另一個交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）；
（3）當(dāng)x≥-1時，y隨x的增大而增大，
當(dāng)n≥-1時，
∵y₁＞y₂，
∴n＞2．
當(dāng)n＜-1時，P（n，y₁）的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為（-2-n，y₁），且-2-n＞-1，
∵y₁＞y₂，
∴-2-n＞2，
∴n＜-4．
綜上所述：n＞2或n＜-4．