a1=S1=p+q.
當n≥2時,an=Sn－Sn－1=pn－1(p－1)
∵p≠0,p≠1,∴ =p
若{an}為等比數(shù)列,則 =p
∴ =p,
∵p≠0,∴p－1=p+q,∴q=－1
這是{an}為等比數(shù)列的必要條件.
下面證明q=－1是{an}為等比數(shù)列的充分條件.
當q=－1時,∴Sn=pn－1(p≠0,p≠1),a1=S1=p－1
當n≥2時,an=Sn－Sn－1=pn－pn－1=pn－1(p－1)
∴an=(p－1)pn－1 (p≠0,p≠1)
=p為常數(shù)
∴q=－1時,數(shù)列{an}為等比數(shù)列.即數(shù)列{an}是等比數(shù)列的充要條件為q=－1.