x(n) = (-1/2)(x(n-1) - 1)^2 + 3/2,
x(n) - 1 = (-1/2)(x(n-1) - 1)^2 + 1/2,
因為
(根2) - 1 = (-1/2)((根2) - 1)^2 + 1/2,
上面的兩式相減,消去1/2,再把右邊因式分解,
x(n)-(根2) = (-1/2)[(x(n-1) - 1)^2 - ((根2) - 1)^2]
= (-1/2)((x(n-1) - (根2))(x(n-1) + (根2) - 2).(★)
這個樣子就差不多了,下面我們做估計.
我們斷言：若1 < x(n-1) < 2,則1 < x(n) < 2.
事實上,0 < x(n-1) - 1 < 1,
x(n) = (-1/2)(x(n-1) - 1)^2 + 3/2 < 3/2 < 2,
x(n) = (-1/2)(x(n-1) - 1)^2 + 3/2 > (-1/2) + 3/2 > 1,
所以斷言為真.
據此斷言,以及 1 < x(1) < 2,用數學歸納法就知道總有
1 < x(n) < 2.
因此 0 < (根2) - 1 < x(n-1) + (根2) - 2 < (根2),
故| x(n-1) + (根2) - 2 |/2 < (根2)/2.
由(★)式,我們有
| x(n)-(根2)| < | x(n-1) - (根2)| * (根2)/2.
于是
| x(n)-(根2)| < | x(1) - (根2)| * ((根2)/2)^(n - 1).
< 2 * ((根2)/2)^(n - 1).
為使| x(n)-(根2)| < 1/32 = 1/2^5,
只要使 2 * ((根2)/2)^(n - 1) < 1/2^5,即n > 13.
所以只要取N = 13即可滿足要求.(當然更大的N就更滿足.)
ps:
直接打的,未經驗算.數字可能有錯,方法是每問題的.
希望對你有用.