f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+[f''(x0)/2!]/(x-x0)∧2+.+[fn(x0)/n!](x-x0)∧n+...的右邊為 f在x=0處得泰勒展開式
在實際應(yīng)用上,主要討論x0=0處的展開式
例如求f(x)=e ∧x 的展開式
由于fn(x)=e∧x,fn(0)=1,(n=1,2,3.)
所以f的拉格朗日余項為Rn(x)=[e∧(θx)/(n+1)!]·x∧(n+1),(0≤θ≤1)
顯見|Rn(x)|≤[(e∧|x|)/(n+1)!]·|x|∧(n+1),
它對任何實數(shù)x都有l(wèi)im[(e∧|x|)/(n+1)!]·|x|∧(n+1)=0
因而limRn(x)=0
所以f(x)=e ∧x =1+(1/1!)x+(1/2!)x∧2+.+(1/n!)x∧n+...,