例子實(shí)在是不好寫,我用語(yǔ)言給你旅順一下他們的關(guān)系
這里有很多概念一樣要理解清楚 冪級(jí)數(shù) 冪級(jí)數(shù)收斂 函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù) 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)
1.冪級(jí)數(shù)是一個(gè)大范圍,泰勒級(jí)數(shù)是相對(duì)于一個(gè)函數(shù)f(x)而言的.
你隨便寫一個(gè)x^n的級(jí)數(shù),不管系數(shù)你怎么寫,他都是一個(gè)冪級(jí)數(shù).
而泰勒級(jí)數(shù)是f(x)在x0點(diǎn)的n導(dǎo)數(shù)與(x-x0)^n的乘積再除以n!n從0到無(wú)窮,而得到的這個(gè)級(jí)數(shù)叫 f(x)在x0點(diǎn)的泰勒級(jí)數(shù),這里注意...是f(x)在x0點(diǎn)的.這也就說(shuō)泰勒級(jí)數(shù)的定義是和f(x)和x0有關(guān)的,脫離了f(x)和x0來(lái)談泰勒級(jí)數(shù)是不對(duì)的.對(duì)于f(x)在x0點(diǎn)的泰勒級(jí)數(shù),他也符合冪級(jí)數(shù)的定義,所以它也是冪級(jí)數(shù)!
2.冪級(jí)數(shù)展開(kāi)與冪級(jí)數(shù) 是兩回事!
冪級(jí)數(shù)數(shù)就是一個(gè)級(jí)數(shù),而冪級(jí)數(shù)展開(kāi)說(shuō)法其實(shí)不準(zhǔn)確,應(yīng)該說(shuō)成f(x)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi),就是把f(x)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的形式,找到一個(gè)冪級(jí)數(shù),什么樣的冪級(jí)數(shù)?是這個(gè)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)收斂于f(x),那么怎么來(lái)找?考查f(x)在x0的泰勒級(jí)數(shù),這個(gè)級(jí)數(shù)什么時(shí)候收斂于f(x),就有了函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)條件:f(x)的拉格朗日余項(xiàng)趨于無(wú)窮大時(shí) f(x)在x0點(diǎn)的泰勒級(jí)數(shù)收斂于f(x),所以就是f(x)展成了他的泰勒級(jí)數(shù).這個(gè)展開(kāi)式其實(shí)是唯一的.
所以f(x)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi) 就是在某一點(diǎn)使f(x)在這點(diǎn)的泰勒級(jí)數(shù)收斂,就找到了f(x)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)
打了不少,不知樓主能看懂不,希望樓主能認(rèn)真讀懂.
其實(shí)還有類似的概念函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù),和函數(shù)的傅里葉展開(kāi)也是不同的概念.
PS：一樓的在胡扯,函數(shù)在x=0的級(jí)數(shù)那就叫函數(shù)的麥克勞林級(jí)數(shù),是一種函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)!概念不清!