1.傅立葉變換的物理意義
傅立葉變換是數(shù)字信號處理領域一種很重要的算法.要知道傅立葉變換算法的意義,首先要了解傅立葉原理的意義.傅立葉原理表明：任何連續(xù)測量的時序或信號,都可以表示為不同頻率的正弦波信號的無限疊加.而根據(jù)該原理創(chuàng)立的傅立葉變換算法利用直接測量到的原始信號,以累加方式來計算該信號中不同正弦波信號的頻率、振幅和相位.
和傅立葉變換算法對應的是反傅立葉變換算法.該反變換從本質上說也是一種累加處理,這樣就可以將單獨改變的正弦波信號轉換成一個信號.因此,可以說,傅立葉變換將原來難以處理的時域信號轉換成了易于分析的頻域信號（信號的頻譜）,可以利用一些工具對這些頻域信號進行處理、加工.最后還可以利用傅立葉反變換將這些頻域信號轉換成時域信號.
從現(xiàn)代數(shù)學的眼光來看,傅里葉變換是一種特殊的積分變換.它能將滿足一定條件的某個函數(shù)表示成正弦基函數(shù)的線性組合或者積分.在不同的研究領域,傅里葉變換具有多種不同的變體形式,如連續(xù)傅里葉變換和離散傅里葉變換.
在數(shù)學領域,盡管最初傅立葉分析是作為熱過程的解析分析的工具,但是其思想方法仍然具有典型的還原論和分析主義的特征."任意"的函數(shù)通過一定的分解,都能夠表示為正弦函數(shù)的線性組合的形式,而正弦函數(shù)在物理上是被充分研究而相對簡單的函數(shù)類：1. 傅立葉變換是線性算子,若賦予適當?shù)姆稊?shù),它還是酉算子;2. 傅立葉變換的逆變換容易求出,而且形式與正變換非常類似;3. 正弦基函數(shù)是微分運算的本征函數(shù),從而使得線性微分方程的求解可以轉化為常系數(shù)的代數(shù)方程的求解.在線性時不變雜的卷積運算為簡單的乘積運算,從而提供了計算卷積的一種簡單手段;4. 離散形式的傅立葉的物理系統(tǒng)內,頻率是個不變的性質,從而系統(tǒng)對于復雜激勵的響應可以通過組合其對不同頻率正弦信號的響應來獲取;5. 著名的卷積定理指出:傅立葉變換可以化復變換可以利用數(shù)字計算機快速的算出(其算法稱為快速傅立葉變換算法(FFT)).
正是由于上述的良好性質,傅里葉變換在物理學、數(shù)論、組合數(shù)學、信號處理、概率、統(tǒng)計、密碼學、聲學、光學等領域都有著廣泛的應用.
2.圖像傅立葉變換的物理意義
圖像的頻率是表征圖像中灰度變化劇烈程度的指標,是灰度在平面空間上的梯度.如：大面積的沙漠在圖像中是一片灰度變化緩慢的區(qū)域,對應的頻率值很低；而對于地表屬性變換劇烈的邊緣區(qū)域在圖像中是一片灰度變化劇烈的區(qū)域,對應的頻率值較高.傅立葉變換在實際中有非常明顯的物理意義,設f是一個能量有限的模擬信號,則其傅立葉變換就表示f的譜.從純粹的數(shù)學意義上看,傅立葉變換是將一個函數(shù)轉換為一系列周期函數(shù)來處理的.從物理效果看,傅立葉變換是將圖像從空間域轉換到頻率域,其逆變換是將圖像從頻率域轉換到空間域.換句話說,傅立葉變換的物理意義是將圖像的灰度分布函數(shù)變換為圖像的頻率分布函數(shù),傅立葉逆變換是將圖像的頻率分布函數(shù)變換為灰度分布函數(shù).
傅立葉變換以前,圖像（未壓縮的位圖）是由對在連續(xù)空間（現(xiàn)實空間）上的采樣得到一系列點的集合,我們習慣用一個二維矩陣表示空間上各點,則圖像可由z=f(x,y)來表示.由于空間是三維的,圖像是二維的,因此空間中物體在另一個維度上的關系就由梯度來表示,這樣我們可以通過觀察圖像得知物體在三維空間中的對應關系.為什么要提梯度?因為實際上對圖像進行二維傅立葉變換得到頻譜圖,就是圖像梯度的分布圖,當然頻譜圖上的各點與圖像上各點并不存在一一對應的關系,即使在不移頻的情況下也是沒有.傅立葉頻譜圖上我們看到的明暗不一的亮點,實際上圖像上某一點與鄰域點差異的強弱,即梯度的大小,也即該點的頻率的大?。梢赃@么理解,圖像中的低頻部分指低梯度的點,高頻部分相反）.一般來講,梯度大則該點的亮度強,否則該點亮度弱.這樣通過觀察傅立葉變換后的頻譜圖,也叫功率圖,我們首先就可以看出,圖像的能量分布,如果頻譜圖中暗的點數(shù)更多,那么實際圖像是比較柔和的（因為各點與鄰域差異都不大,梯度相對較?。?反之,如果頻譜圖中亮的點數(shù)多,那么實際圖像一定是尖銳的,邊界分明且邊界兩邊像素差異較大的.對頻譜移頻到原點以后,可以看出圖像的頻率分布是以原點為圓心,對稱分布的.將頻譜移頻到圓心除了可以清晰地看出圖像頻率分布以外,還有一個好處,它可以分離出有周期性規(guī)律的干擾信號,比如正弦干擾,一副帶有正弦干擾,移頻到原點的頻譜圖上可以看出除了中心以外還存在以某一點為中心,對稱分布的亮點集合,這個集合就是干擾噪音產(chǎn)生的,這時可以很直觀的通過在該位置放置帶阻濾波器消除干擾.
另外我還想說明以下幾點：
1、圖像經(jīng)過二維傅立葉變換后,其變換系數(shù)矩陣表明：
若變換矩陣Fn原點設在中心,其頻譜能量集中分布在變換系數(shù)短陣的中心附近(圖中陰影區(qū)).若所用的二維傅立葉變換矩陣Fn的原點設在左上角,那么圖像信號能量將集中在系數(shù)矩陣的四個角上.這是由二維傅立葉變換本身性質決定的.同時也表明一股圖像能量集中低頻區(qū)域.
2 、變換之后的圖像在原點平移之前四角是低頻,最亮,平移之后中間部分是低頻,最亮,亮度大說明低頻的能量大（幅角比較大）.
3.傅立葉變換的提出
讓我們先看看為什么會有傅立葉變換?傅立葉是一位法國數(shù)學家和物理學家的名字,英語原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier對熱傳遞很感興趣,于1807年在法國科學學會上發(fā)表了一篇論文,運用正弦曲線來描述溫度分布,論文里有個在當時具有爭議性的決斷：任何連續(xù)周期信號可以由一組適當?shù)恼仪€組合而成.當時審查這個論文的人,其中有兩位是歷史上著名的數(shù)學家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827),當拉普拉斯和其它審查者投票通過并要發(fā)表這個論文時,拉格朗日堅決反對,在近50年的時間里,拉格朗日堅持認為傅立葉的方法無法表示帶有棱角的信號,如在方波中出現(xiàn)非連續(xù)變化斜率.法國科學學會屈服于拉格朗日的威望,拒絕了傅立葉的工作,幸運的是,傅立葉還有其它事情可忙,他參加了政治運動,隨拿破侖遠征埃及,法國大革命后因會被推上斷頭臺而一直在逃避.直到拉格朗日死后15年這個論文才被發(fā)表出來.
誰是對的呢?拉格朗日是對的：正弦曲線無法組合成一個帶有棱角的信號.但是,我們可以用正弦曲線來非常逼近地表示它,逼近到兩種表示方法不存在能量差別,基于此,傅立葉是對的.
為什么我們要用正弦曲線來代替原來的曲線呢?如我們也還可以用方波或三角波來代替呀,分解信號的方法是無窮的,但分解信號的目的是為了更加簡單地處理原來的信號.用正余弦來表示原信號會更加簡單,因為正余弦擁有原信號所不具有的性質：正弦曲線保真度.一個正弦曲線信號輸入后,輸出的仍是正弦曲線,只有幅度和相位可能發(fā)生變化,但是頻率和波的形狀仍是一樣的.且只有正弦曲線才擁有這樣的性質,正因如此我們才不用方波或三角波來表示.