（1）∵二次函數(shù)f（x）=x2-16x+q+3的對(duì)稱軸是x=8,
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1,1]上單調(diào)遞減,
則函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1,1]上存在零點(diǎn)須滿足f（-1）•f（1）≤0．
即（1+16+q+3）（1-16+q+3）≤0,解得-20≤q≤12．
（2）假設(shè)存在常數(shù)q（0＜q＜10）,使得當(dāng)x∈[q,10]時(shí),f（x）的最小值為-51
∵f（x）=x2-16x+q+3=（x-8）2+q-61,x∈[q,10]
∴當(dāng)0＜q＜8時(shí),f（x）min=q-61=-51,∴q=10∉（0,8）；
當(dāng)q≥8時(shí),f（x）在區(qū)間[q,10]上單調(diào)遞增,f（x）min=q2-15q+3=-51,解得q=6（舍去）或q=9
故存在常數(shù)q=9,使得當(dāng)x∈[q,10]時(shí),f（x）的最小值為-51．