分析：1）欲使函數(shù)y=g（mx*2+2x+m）的值域?yàn)镽,只需要內(nèi)層函數(shù)的值域中包含了全體正數(shù),當(dāng)m=0時(shí)顯然滿足,當(dāng)m不為0時(shí),內(nèi)層函數(shù)為二次函數(shù),需要開口向上且判別式大于等于0,即可滿足要求．
（2）x∈[-1,1]時(shí),求函數(shù)y=[f（x）]*2-2af（x）+3是一個(gè)復(fù)合函數(shù),復(fù)合函數(shù)的最值一般分兩步來(lái)求,第一步求內(nèi)層函數(shù)的值域,第二步研究外層函數(shù)在內(nèi)層函數(shù)值域上的最值,本題內(nèi)層函數(shù)的值域是確定的一個(gè)集合,而外層函數(shù)是一個(gè)系數(shù)有變量的二次函數(shù),故本題是一個(gè)區(qū)間定軸動(dòng)的問(wèn)題．
（3）假設(shè)存在,先求出函數(shù)y=g[f（x*2）]的解析式,為y=x*2,則函數(shù)在[m,n]上單調(diào)增,故有[m*2,n*2]=[2m,2n]解出m,n的值說(shuō)明假設(shè)成立,若解不出,則說(shuō)明假設(shè)不成立．
1）①當(dāng)m=0時(shí),滿足條件； ②當(dāng)m≠0時(shí),有 m＞0,△≥0 ⇒0＜m≤1 綜上可得,0≤m≤1．
2）令f(x)=t(1/3≤t≤3),則y=t*2-2at+3=（t-a）*2+3-a*2
①當(dāng)a＜1/3時(shí),h(a)=28/9 -2/3 a
②當(dāng)1/3≤a≤3時(shí),h（a）=3-a*2
③當(dāng)a＞3時(shí),h（a）=12-6a
故h（a）=28/9-2/3 a a＜1/3,
3-a*2 1/3≤a≤3,
12-6a a＞3,
3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)m,n滿足條件,則有0≤m＜n,
化簡(jiǎn)可得函數(shù)表達(dá)式為y=x2,則函數(shù)在[m,n]上單調(diào)遞增,
故值域?yàn)閇m*2,n*2]=[2m,2n]
解得m=0,n=2
故存在m=0,n=2滿足條件．