（1）f′（x）=

k(x2+c)-2x(kx+1)

(x2+c)2

=

-kx2-2x+ck

(x2+c)2

，
由題意知f′（-c）=0，即得c²k-2c-ck=0，（*）
∵c≠0，∴k≠0．
由f′（x）=0，得-kx²-2x+ck=0，
由韋達(dá)定理知另一個極值點為x=1（或x=c-

2

k

）．
（Ⅱ）由（*）式得k=

2

c-1

，即c=1+

2

k

．
當(dāng)c＞1時，k＞0；當(dāng)0＜c＜1時，k＜-2．
（i）當(dāng)k＞0時，f（x）在（-∞，-c）和（1，+∞）內(nèi)是減函數(shù)，在（-c，1）內(nèi)是增函數(shù)．
∴M=f（1）=

k+1

c+1

=

k

2

＞0，m=f（-c）=

-kc+1

c2+c

=

-k2

2(k+2)

＜0，
由M-m=

k

2

+

k2

2(k+2)

≥1及k＞0，解得k≥

2

．
（ii）當(dāng)k＜-2時，f（x）在（-∞，-c）和（1，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，在（-c，1）內(nèi)是減函數(shù)．
∴M=f（-c）=

-k2

2(k+2)

＞0，m=f（1）=

k

2

＜0，M-m=

-k2

2(k+2)

-

k

2

=1-

(k+1)2+1

k+2

≥1恒成立．
綜上可知，所求k的取值范圍為（-∞，-2）∪[

2

，+∞）．