lg((a+b)/2)+lg((a+c)/2)+lg((c+b)/2)>=lga +lgb+lgc
(a+b)(a+c)(b+c)>=8abc
用均值不等式就可以了：
a+b>=2√ab
b+c>=2√bc
c+a>=2√ca
三式相乘即得：
(a+b)(a+c)(b+c)>=8abc
故原不等式成立,證畢.
如果非要用排序不等式的話,也可以的,直接代入乘積形式的排序不等式就行
參見下面的證明【思路跟證明排序不等式一樣,調(diào)整法.】
（關(guān)于排序和的乘積的不等式）設(shè)有兩組有序正數(shù)：
0＜a1≤a2≤…≤an,0＜b1≤b2≤…≤bn
則對于1,2…n的任一排列i1,i2,…in,有
(a1+b1)(a2+b2)…(an+bn)（同序和的乘積）
≤(a1+bi1)(a2+bi2)…(an+bin)（亂序和的乘積）
≤(a1+bn)(a2+bn-1)…(an+b1)（逆序和的乘積）
證明 ：若bi1≤bi2≤…≤bin,則bik=bk(k=1,2,…,n),那么,同序和的乘積=亂序和的乘積；
若bi1,bi2,…bin中至少有兩個反序,不妨設(shè)bi1＞bi2那么
(a1+bi1)(a2+bi2)-(a1+bi2)(a2+bi1)=(a1-a2)(bi2-bi1)＞0.
由此,同序和的乘積＜亂序和的乘積.進而,若bi1,bi2,…,bin是全反序,則亂序和的乘積≤逆序和的乘積.
事實上,也可以用柯西不等式的推廣【holder不等式】直接證明：
(a+b)(b+c)(c+a)>=（(abc)^(1/3)+(bca)^(1/3)）^3=8abc 【注意字母的順序】
其實用最一般的想法也可以：A>=B A-B>=0
(a+b)(b+c)(c+a)-8abc
=a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b-6abc
=ab(a-c)+ac(a-b)+ba(b-c)+bc(b-a)+ca(c-b)+cb(c-a)
=b(a-c)^2+c(a-b)^2+a(c-b)^2
>=0
方法還有很多,樓主可以自己研究下.