（Ⅰ）依題意，S_n+1-S_n=a_n+1=S_n+3ⁿ，即S_n+1=2S_n+3ⁿ，
由此得S_n+1-3ⁿ⁺¹=2S_n+3ⁿ-3ⁿ⁺¹=2（S_n-3ⁿ）．（4分）
因此，所求通項(xiàng)公式為b_n=S_n-3ⁿ=（a-3）2^n-1，n∈N^*．①（6分）
（Ⅱ）由①知S_n=3ⁿ+（a-3）2^n-1，n∈N^*，
于是，當(dāng)n≥2時(shí)，
a_n=S_n-S_n-1=3ⁿ+（a-3）×2^n-1-3^n-1-（a-3）×2^n-2=2×3^n-1+（a-3）2^n-2，
a_n+1-a_n=4×3^n-1+（a-3）2^n-2=2n?2[12?(

3

2

)n?2+a?3]，
當(dāng)n≥2時(shí)，an+1≥an?12?(

3

2

)n?2+a?3≥0?a≥-9．
又a₂=a₁+3＞a₁．
綜上，所求的a的取值范圍是[-9，+∞）．（12分）