已知曲線C：x2+y2-2x-4y+m=0．（1）當(dāng)m為何值時(shí)，曲線C表示圓；（2）若曲線C與直線x+2y-4=0交于M、N兩點(diǎn)，且OM⊥ON（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求m的值．

已知曲線C：x²+y²-2x-4y+m=0．
（1）當(dāng)m為何值時(shí)，曲線C表示圓；
（2）若曲線C與直線x+2y-4=0交于M、N兩點(diǎn)，且OM⊥ON（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求m的值．

數(shù)學(xué)人氣：845 ℃時(shí)間：2019-10-11 14:02:28

優(yōu)質(zhì)解答

（1）由D²+E²-4F=4+16-4m=20-4m＞0，解得m＜5；（4分）
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
聯(lián)立直線x+2y-4=0與圓的方程x²+y²-2x-4y+m=0，
消去y，得：5x²-8x+4m-16=0，
由韋達(dá)定理得：x1+x2＝

①，x1?x2＝

4m?16

②，
又由x+2y-4=0得y＝

(4?x)，
由OM⊥ON得x₁x₂+y₁y₂=0，
∴x1x2+y1y2＝x1x2+

(4?x1)?(4?x2)＝

x1x2?(x1+x2)+4＝0，
將①、②代入上式得 m＝

，
檢驗(yàn)知滿足△＞0，故m＝

為所求．（13分）

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