C1,圓心(-2,3m+2),
C2的圓心就是此點關于y=x+m+2的對稱點
設C2圓心(a,b)
則過兩圓心的直線垂直于y=x+m+2,且兩圓心的中點在y=x+m+2上
y=x+m+2斜率是1
所以過兩圓心的直線斜率是-1
(b-3m-2)/(a+2)=-1
a+b=3m
兩圓心的中點在y=x+m+2上
(b+3m+2)/2=(a-2)/2+m+2
a-b=m+2
所以a=2m+1,b=m-1
對稱的圓半徑不變
所以C2:(x-2m-1)^2+(y-m+1)^2=4m^2
C2的圓心的坐標x=2m+1,y=m-1
m=y+1
x=2(y+1)+1
x-2y-3=0
所以圓心在x-2y-3=0這條直線上
所以C2所表示的一系列圓的公切線應該是和x-2y-3=0平行且直線距離等于半徑的直線
所以公切線是x-2y+k=0
圓心(2m+1,m-1)
到直線的距離=|2m+1-2m+2+k|/√(1^2+2^2)=|k|/√5
半徑=2|m|
|k|/√5=2|m|
k=±2√5m
所以公切線有兩條
x-2y+2√5m=0
x-2y-2√5m=0