設(shè)過F且傾斜角是45度的一條直線方程是y=x+c.
代入到橢圓方程中有(y-c)^2/a^2+y^2/b^2=1
b^2(y^2-2cy+c^2)+a^2y^2=a^2b^2
(a^2+b^2)y^2-2b^2cy+b^2c^2-a^2b^2=0
y1+y2=2b^2c/(a^2+b^2)
y1y2=b^2(c^2-a^2)/(a^2+b^2)=-b^4/(a^2+b^2)
(y1-y2)^2=4b^4c^2/(a^2+b^2)^2+4b^4/(a^2+b^2)=(4b^4(a^2-b^2)+4b^4(a^2+b^2))/(a^2+b^2)^2=8a^2b^4/(a^2+b^2)^2
|y1-y2|=2根號2ab^2/(a^2+b^2)
故以以該四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積S1=F1F2*|y1-y2|=2c*2根號2ab^2/(a^2+b^2)
和以橢圓的四個頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積是S2=2ab
比等于2√2 /3,即有S1/S2=2根號2bc/(a^2+b^2)=2根號2/3
bc/(a^2+b^2)=1/3
(b^2+c^2+b^2)=3bc
2b^2-3bc+c^2=0
(2b-c)(b-c)=0
2b=c,b=c
a^2=b^2+4b^2=5b^2或a^2=b^2+b^2=2b^2,與a>2b不符合,故舍.
故有a^2=5b^2=5/4c^2
e^2=c^2/a^2=4/5
e=2根號5/5.