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    設(shè)橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的上頂點(diǎn)為A，橢圓C上兩點(diǎn)P，Q在X軸上的射影分別為左焦點(diǎn)F1和右焦點(diǎn)F2，直線PQ的斜率為3/2，過點(diǎn)A且與AF1垂直的直線與X軸交于點(diǎn)B，△AF1B的外接圓為圓M． （1）
    

    設(shè)橢圓C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的上頂點(diǎn)為A，橢圓C上兩點(diǎn)P，Q在X軸上的射影分別為左焦點(diǎn)F1和右焦點(diǎn)F2，直線PQ的斜率為
    3
    2
    ，過點(diǎn)A且與AF1垂直的直線與X軸交于點(diǎn)B，△AF1B的外接圓為圓M．
    （1）求橢圓的離心率；
    （2）直線3x+4y+
    1
    4
    a2=0與圓M相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，且
    .
    ME
    ?
    .
    MF
    =-
    1
    2
         a2，求橢圓方程．
    

    數(shù)學(xué)人氣：500 ℃時間：2019-11-04 11:31:59
    

    優(yōu)質(zhì)解答
    

    （1）由題意，不妨設(shè)P（-c，-
    b2
    a
    ），Q（c，
    b2
    a
    ），則直線PQ的斜率為
    b2
    a
    c
    =
    3
    2

    ∴
    a2?c2
    ac
    ＝
    3
    2
    ，∴2e2+3e-2=0，
    ∵0＜e＜1，∴e=
    1
    2
    ；
    （2）∵e=
    1
    2
    ，∴∠AF1B=60?，a=2c
    ∵|AF1|=a，∴|BF1|=2a，即圓M的直徑為2a，B（3c，0），圓心坐標(biāo)為（c，0）
    ∵
    .
    ME
    ?
    .
    MF
    =-
    1
    2
         a2，
    ∴
    .
    ME
    2    cos∠EMF    =-
    1
    2
         a2，
    ∴cos∠EMF=-
    1
    2

    ∴∠EMF=120°
    ∴M到直線3x+4y+
    1
    4
    a2=0的距離為
    1
    2
    a
    ∴
    |3c+
    1
    4
    a2|
    5
    =
    1
    2
    a
    ∵a=2c，∴c=2，a=4
    ∴b2=a2-c2=12
    ∴橢圓方程為
    x2
    16
    +
    y2
    12
    ＝1    ．
    

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