為什么偶數(shù)項二項式系數(shù)和等于奇數(shù)項二項數(shù)系數(shù)和?

數(shù)學(xué)人氣：511 ℃時間：2019-10-11 15:25:37

優(yōu)質(zhì)解答

證:定理(1)二項式系數(shù)和等于2^n
∵(1+x)^n=Cn0+Cn1x+Cn2x^2+Cn3x^3+…+Cnnx^n
令x=1得
Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=2^n
定理2:奇數(shù)項二項式系數(shù)和等于偶數(shù)項二項式系數(shù)和
∵(1+x)^n=Cn0+Cn1x+Cn2x^2+Cn3x^3+…+Cnnx^n
令x=1得
Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=2^n ①
令x=-1得
Cn0-Cn1x+Cn2x^2-Cn3x^3+…+Cnn(-x)^n=0 ②
由②得
Cn0+Cn2+Cn4+…=Cn1+Cn3+Cn5+…
所以奇數(shù)項二項式系數(shù)和等于偶數(shù)項二項式系數(shù)和
再代入①得
Cn0+Cn2+Cn4+…=Cn1+Cn3+Cn5+…=2^(n-1)