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    設S1＝1+1/12+1/22，S2＝1+1/22+1/32，S3＝1+1/32+1/42，…，Sn＝1+1/n2+1/(n+1)2． 設S＝S1+S2+…+Sn，則S=_ （用含n的代數(shù)式表示，其中n為正整數(shù)）．
    

    設S1＝1+
    1
    12
    +
    1
    22
    ，S2＝1+
    1
    22
    +
    1
    32
    ，S3＝1+
    1
    32
    +
    1
    42
    ，…，Sn＝1+
    1
    n2
    +
    1
    (n+1)2
    ．
    設S＝
    S1
    +
    S2
    +…+
    Sn
    ，則S=______ （用含n的代數(shù)式表示，其中n為正整數(shù)）．
    

    數(shù)學人氣：762 ℃時間：2020-06-09 00:36:58
    

    優(yōu)質(zhì)解答
    

    ∵Sn=1+
    1
    n2
    +
    1
    (n+1)2
    =
    n2(n+1)2+(n+1)2+n2 
    n2(n+1)2
    =
    [n(n+1)]2+2n2+2n+1
    [n(n+1)]2
    =
    [n(n+1)+1]2
    [n(n+1)]2
    ，
    ∴
    Sn
    =
    n(n+1)+1
    n(n+1)
    =1+
    1
    n(n+1)
    =1+
    1
    n
    -
    1
    n+1
    ，
    ∴S=1+1-
    1
    2
    +1+
    1
    2
    -
    1
    3
    +…+1+
    1
    n
    -
    1
    n+1

    =n+1-
    1
    n+1

    =
    (n+1)2?1
    n+1
    =
    n2+2n
    n+1
    ．
    故答案為：
    n2+2n
    n+1
    ．
    

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