圖形是一個開口向上的拋物面和一個開口向下的拋物面圍成的立體
不用考慮圖形具體的樣子
首先求立體在xy坐標(biāo)面上的投影區(qū)域
把兩個曲面的交線投影到xy面上去
即兩個方程聯(lián)立：
z=x²+y² .①
z=6-2x²-2y² .②
①-②得：
x²+y²-6+3x²+3y²=0
x²+y²=2
所以立體在xy坐標(biāo)面上的投影區(qū)域是D：x²+y²≤2
其次,根據(jù)二重積分的幾何意義
立體的體積是兩個曲頂柱體的體積的差
兩個曲頂分別是：
z=x²+2y²
z=6-2x²-y²
很容易判斷得到：
z=6-2x²-y²在Z=x²+2y²上方
所以,立體的體積：
V＝∫∫(D)[(6-2x^2-2y^2)－(x^2+2y^2)]dxdy
在極坐標(biāo)系下化為累次積分：
V＝∫(0～2π)dθ∫(0～√2)(6－3ρ^2)ρdρ＝6π