由題意知c=1,所以a²=b²+1,橢圓方程為x²/(b²+1)+y²/b²=1,
將點(1,3/2)代入方程,整理得4b^4-9b²-9=0,即(b²-3)(4b²+3)=0,
所以b²=3,a²=4,橢圓方程為x²/4+y²/3=1.
設(shè)直線為y=(3/2)x+m,代入橢圓方程得x²/4+(3/2x+m)²/3=1,
整理得3x²+3mx+m²-3=0,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=-m,
所以y1+y2=3/2x1+m+3/2x2+m=3/2(x1+x2)+2m=1/2m,
因此AB的中點為(-1/2m,1/4m),即AB的中點都在同一直線l：y=-1/2x上.
將y=-1/2x代入橢圓x²/4+y²/3=1,得x²=3,x=±√3,
所以y=±√3/2,即M(√3,-√3/2),N(-√3,√3/2),|MN|=√15,
因為△MNQ的面積是√3,所以點Q到直線y=-1/2x的距離為2√3/√15=2/√5.
設(shè)平行于直線l：y=-1/2x的直線l'的方程為y=-1/2x+n,
則l與l'之間的距離應(yīng)滿足|n|/√[(1/2)²+1²]=2/√5,解得n=±1,
所以l'的方程是y=-1/2x+1或y=-1/2x-1.
將y=-1/2x+1代入x²/4+y²/3=1整理得x²-x-2=0,解得x=-1或2,
因此直線y=-1/2x+1與橢圓的交點是Q1(-1,3/2),Q2(2,0).
同理可得直線y=-1/2x-1與橢圓的交點是Q3(1,-3/2),Q(-2,0).
故橢圓上使三角形MNQ面積為√3的點Q有四個.