設(shè)F1,F2分別是橢圓x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左、右焦點,過F1斜率為1的直線l與E相交于A,B兩點,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差數(shù)列,求E的離心率

數(shù)學(xué)人氣：380 ℃時間：2019-08-21 06:53:37

優(yōu)質(zhì)解答

|AF2|,|AB|,|BF2|成等差數(shù)列
則：2AB=AF2+BF2
即：2AF1+2BF1=AF2+BF2 ①
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)
則由焦半徑公式：AF1=a+ex1,AF2=a-ex1,BF1=a+ex2,BF2=a-ex2
代入①式得：4a+2e(x1+x2)=2a-e(x1+x2)
3e(x1+x2)=-2a
直線L：y=x+c
代入橢圓得：x²/a²+(x+c)²/b²=1
即：(1/a²+1/b²)x²+2cx/b²+c²/b²-1=0
由韋達(dá)定理：x1+x2=-(2c/b²)/(1/a²+1/b²)=-2ca²/(a²+b²)
代入②得：-6eca²/(a²+b²)=-2a
-3ac²/(a²+b²)=-a
3c²=a²+b²
3c²=a²+a²-c²
2c²=a²
e²=1/2
所以,離心率e=√2/2

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