【證明】：
【充分性】：
若{an}是等比數(shù)列,設(shè)公比為q,且單調(diào)遞增,則
a(n+1)>an
即a1*(1-q^n)/(1-q)>a1*(1-q^(n-1))/(1-q)
a1*[q^n-q^(n-1)](1-q)<0
首先討論的是恒成立,所以公比不能為負(fù),否則正負(fù)相間的數(shù)不可能恒成立的,
若a1>0,則q∈(1,+∞)
∴自然有a1若a1<0,則q∈(0,1)
∴也有a1【必要性】:
若{an}是等比數(shù)列,設(shè)公比為q,且a1公比必為正,否則不可能有連續(xù)三項(xiàng)均滿足遞增關(guān)系,
若q∈(0,1),
當(dāng)an>0時(shí),則q=a2/a1>1矛盾,
當(dāng)an<0時(shí),則q=a2/a1<1,成立,此時(shí)此數(shù)列為負(fù)值遞增數(shù)列,
若q∈(1,+∞),
當(dāng)an<0時(shí),q=a2/a1<1矛盾,
當(dāng)an>0時(shí),q=a2/a1>1,成立,此時(shí)數(shù)列為正項(xiàng)遞增數(shù)列.
得證!