設(shè)f(x)是一個(gè)實(shí)系數(shù)奇數(shù)次多項(xiàng)式,則
x→＋∞時(shí),f(x)→＋∞,所以存在X1＞0,使得f(x1)＞0
x→－∞時(shí),f(x)→－∞,所以存在X2＜0,使得f(x2)＜0
f(x)在[X2.X1]上連續(xù),由零點(diǎn)定理,至少存在一點(diǎn)ξ∈(X2,X1),使得f(ξ)＝0,即方程f(x)＝0至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根.
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用代數(shù)的方法證明：在實(shí)數(shù)域內(nèi)分解多項(xiàng)式f(x)時(shí),因?yàn)榇鷶?shù)方程的復(fù)數(shù)根是成對(duì)出現(xiàn)的,且多項(xiàng)式是奇數(shù)次的,所以f(x)至少可以分解出一個(gè)一次因式,所以方程至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根