用數(shù)學(xué)歸納法證明：2^n+2>n^2
1,n=1,顯然成立
2,設(shè)當(dāng) N=k 時 成立,即有
2^k+2>k^2.
3. 2^k+2>k^2
2*2^k+4>2*k^2
2*2^k+2>2*k^2-2 =k^2+k^2-2
> k^2 +2k+1
只需 k^2-2>2k+1
即 k^2+2k>3 ,顯然成立
數(shù)學(xué)上證明與自然數(shù)n有關(guān)的命題的一種方法.必須包括兩步：(1)驗(yàn)證當(dāng)n取第一個自然數(shù)值n=n1(n1=1,2或其他常數(shù))時,命題正確；(2)假設(shè)當(dāng)n取某一自然數(shù)k時命題正確,以此推出當(dāng)n=k+1時這個命題也正確.從而就可斷定命題對于從n1開始的所有自然數(shù)都成立.
數(shù)學(xué)歸納法是一種數(shù)學(xué)證明方法,典型地用于確定一個表達(dá)式在所有自然數(shù)范圍內(nèi)是成立的或者用于確定一個其他的形式在一個無窮序列是成立的.有一種用于數(shù)理邏輯和計算機(jī)科學(xué)廣義的形式的觀點(diǎn)指出能被求出值的表達(dá)式是等價表達(dá)式；這就是著名的結(jié)構(gòu)歸納法.
已知最早的使用數(shù)學(xué)歸納法的證明出現(xiàn)于 Francesco Maurolico 的 Arithmeticorum libri duo (1575年).Maurolico 證明了前 n 個奇數(shù)的總和是 n^2.
最簡單和常見的數(shù)學(xué)歸納法證明方法是證明當(dāng)n屬于所有自然數(shù)時一個表達(dá)式成,這種方法是由下面兩步組成:
遞推的基礎(chǔ): 證明當(dāng)n = 1時表達(dá)式成立.
遞推的依據(jù): 證明如果當(dāng)n = m時成立,那么當(dāng)n = m + 1時同樣成立.(遞推的依據(jù)中的“如果”被定義為歸納假設(shè). 不要把整個第二步稱為歸納假設(shè).)
這個方法的原理在于第一步證明起始值在表達(dá)式中是成立的,然后證明一個值到下一個值的證明過程是有效的.如果這兩步都被證明了,那么任何一個值的證明都可以被包含在重復(fù)不斷進(jìn)行的過程中.或許想成多米諾效應(yīng)更容易理解一些；如果你有一排很長的直立著的多米諾骨牌那么如果你可以確定：
第一張骨牌將要倒下.
只要某一個骨牌倒了,與他相臨的下一個骨牌也要倒.
那么你就可以推斷所有的的骨牌都將要倒.
數(shù)學(xué)歸納法的原理作為自然數(shù)公理,通常是被規(guī)定了的(參見皮亞諾公理第五條).但是它可以用一些邏輯方法證明；比如,如果下面的公理：
自然數(shù)集是有序的被使用.
注意到有些其他的公理確實(shí)的是數(shù)學(xué)歸納法原理中的二者擇一的公式化.更確切地說,兩個都是等價的.
用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明的步驟：
（1）（歸納奠基）證明當(dāng)取第一個值時命題成立；證明了第一步,就獲得了遞推的基礎(chǔ),但僅靠這一步還不能說明結(jié)論的普遍性在第一步中,考察結(jié)論成立的最小正整數(shù)就足夠了,沒有必要再考察幾個正整數(shù),即使命題對這幾個正整數(shù)都成立,也不能保證命題對其他正整數(shù)也成立；
（2）（歸納遞推）假設(shè)時命題成立,證明當(dāng)時命題也成立；證明了第二步,就獲得了遞推的依據(jù),但沒有第一步就失去了遞推的基礎(chǔ).只有把第一步和第二步結(jié)合在一起,才能獲得普遍性的結(jié)論；
（3）下結(jié)論：命題對從開始的所有正整數(shù)都成立.
注：
（1）用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明時,“歸納奠基”和“歸納遞推”兩個步驟缺一不可；
（2）在第二步中,在遞推之前, 時結(jié)論是否成立是不確定的,因此用假設(shè)二字,這一步的實(shí)質(zhì)是證明命題對 的正確性可以傳遞到 時的情況.有了這一步,聯(lián)系第一步的結(jié)論（命題對 成立）,就可以知道命題對 也成立,進(jìn)而再由第二步可知 即 也成立,…,這樣遞推下去就可以知道對于所有不小于 的正整數(shù)都成立.在這一步中, 時命題成立,可以作為條件加以運(yùn)用,而 時的情況則有待利用歸納假設(shè)、已知的定義、公式、定理加以證明,不能直接將 代入命題.
數(shù)學(xué)歸納法的第二種形式
數(shù)學(xué)歸納法是一種重要的論證方法.它們通常所說的“數(shù)學(xué)歸納法”大多是指它的第一種形式而言,本文想從最小數(shù)原理出發(fā),對它的第二種形式即第二數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行粗略的探討,旨在加深對數(shù)學(xué)歸納法的認(rèn)識.
第二數(shù)學(xué)歸納法原理是設(shè)有一個與自然數(shù)n有關(guān)的命題,如果：
（1）當(dāng)n＝1回時,命題成立；
（2）假設(shè)當(dāng)n≤k時命題成立,則當(dāng)n＝k+1時,命題也成立.
那么,命題對于一切自然數(shù)n來說都成立.
證明：用反證法證明.
假設(shè)命題不是對一切自然數(shù)都成立.命N表示使命題不成立的自然數(shù)所成的集合,顯然N非空,于是,由最小數(shù)原理N中必有最小數(shù)m,那么m≠1,否則將與（1）矛盾.所以m－1是一個自然數(shù).但m是N中的最小數(shù),所以m－1能使命題成立.這就是說,命題對于一切≤m－1自然數(shù)都成立,根據(jù)（2）可知,m也能使命題成立,這與m是使命題不成立的自然數(shù)集N中的最小數(shù)矛盾.因此定理獲證.
當(dāng)然,定理2中的（1）,也可以換成n等于某一整數(shù)k.
對于證明過程的第一個步驟即n＝1（或某個整數(shù)a）的情形無需多說,只需要用n＝1（或某個整數(shù)a）直接驗(yàn)證一下,即可斷定欲證之命題的真?zhèn)?所以關(guān)鍵在于第二個步驟,即由n≤k到n＝k＋1的驗(yàn)證過程.事實(shí)上,我們不難從例1的第二個步驟的論證過程中發(fā)現(xiàn),證明等式在n＝k＋1時成立是利用了假設(shè)條件；等式在n＝k及n＝k－1時均需成立.同樣地,例2也不例外,只是形式的把n＝k及n＝k－1分別代換成了n＝k－1和n＝k－2.然而例3就不同了,第二個步驟的論證過程,是把論證命題在n＝k＋1時的成立問題轉(zhuǎn)化為驗(yàn)證命題在n＝k－2＋1時的成立問題.換言之,使命題在n＝k＋1成立的必要條件是命題在n＝k－2＋1時成立,根據(jù)1的取值范圍,而命題在n＝k－k＋1互時成立的實(shí)質(zhì)是命題對一切≤k的自然數(shù)n來說都成立.這個條件不是別的,正是第二個步驟中的歸納假設(shè).以上分析表明,假如論證命在n＝k＋1時的真?zhèn)螘r,必須以n取不大于k的兩個或兩個以上乃至全部的自然數(shù)時命題的真?zhèn)螢槠湔撟C的依據(jù),則一般選用第二數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行論證.之所以這樣,其根本原則在于第二數(shù)學(xué)歸納法的歸納假設(shè)的要求較之第一數(shù)學(xué)歸納法更強(qiáng),不僅要求命題在n－k時成立,而且還要求命題對于一切小于k的自然數(shù)來說都成立,反過來,能用第一數(shù)學(xué)歸納法來論證的數(shù)學(xué)命題,一定也能用第二數(shù)學(xué)歸納進(jìn)行證明,這一點(diǎn)是不難理解的.不過一般說來,沒有任何必要這樣做.
第二數(shù)學(xué)歸納法和第一數(shù)學(xué)歸納法一樣,也是數(shù)學(xué)歸納法的一種表達(dá)形式,而且可以證明第二數(shù)學(xué)歸納法和第一數(shù)學(xué)歸納法是等價的,之所以采用不同的表達(dá)形式,旨在更便于我們應(yīng)用.