由已知得 p|xy^2 ,因此 p|x 或 p|y ,
（1）若 p|x ,設(shè) x=pm ,代入已知等式,則得 my^2=pm+y ,
因此 m|y ,設(shè) y=mn ,則 (mn)^2=p+n ,因此 n|p ,所以 n=1 或 n=p .
當(dāng) n=1 時(shí),p=m^2-1=(m+1)(m-1) ,只有 m=2 ,p=3 ,此時(shí) x=6 ,y=2 ；
當(dāng) n=p 時(shí),有 m^2*p^2=2p ,因此 m^2*p=2 ,只有 m=1 ,p=2 ,此時(shí) x=2 ,y=2 ；
（2）若 p|y ,設(shè) y=pm ,代入已知等式,可得 pxm^2=x+pm ,
由 x=pm(xm-1) 得 pm|x ,由 pm=x(pm^2-1) 得 x|pm ,
所以 x=pm ,代入得 p^2*m^3=2pm ,因此 pm^2=2 ,只有 m=1 ,p=2 ,此時(shí) x=y=2 ,
綜上可得,p=2 或 3 .
當(dāng) p=2 時(shí),x=y=2 ；當(dāng) p=3 時(shí),x=6 ,y=2 .p如果既不整除x 也不整除y 則原式還有正整數(shù)解嗎？？那是不可能的。因?yàn)?p(x+y)=xy^2 ，左邊是 p 的倍數(shù)，右邊也必是 p 的倍數(shù)，所以必有 p|x 或 p|y 。