圓心到正n邊形所有頂點(diǎn)的連線都是半徑,長(zhǎng)度為R.這些連線將正n邊形分成了n個(gè)全等的等腰三角形.這樣,每個(gè)三角形的頂角為2π/n,腰長(zhǎng)為R,
設(shè)正多邊形邊長(zhǎng)為x,過(guò)圓心做等腰三角形底邊上的垂線,在分成的一個(gè)直角三角形里用三角函數(shù)：
sin((2π/n)/2)=(x/2)/R
x=2Rsin(π/n).
設(shè)邊心距為y,y=Rcos(π/n)
每個(gè)等腰三角形的面積=邊長(zhǎng)×邊心距/2
=Rcos(π/n)*2Rsin(π/n)/2
=R*Rsin(π/n)cos(π/n)
=R*Rsin(2π/n)/2
正多邊形的面積
=R*Rsin(2π/n)/2 × n
=nR*Rsin(2π/n)/2