1.|x|=2 （對(duì)于任意正交矩陣T和與之同階的向量x有|Tx|=|x|）
2.必要性：設(shè)l(1),l(2),...,l(n)是正定矩陣A的特征值,則存在n階正交矩陣P,使得
A= P diag(l(1),l(2),...,l(n)) P'
令（sqrt()表示開平方）
B= P diag(sqrt(l(1)),sqrt(l(2)),...,sqrt(l(n))) P'
則B是正定矩陣且A=B^2.
充分性：如果A=B^2,其中B正定,則x'Ax = x'B'Bx = |Bx|^2 >= 0,等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)Bx=0,因?yàn)锽可逆,故當(dāng)且僅當(dāng)x=0,因此A是正定的.
3.x=0.因?yàn)锳的特征多項(xiàng)式為φ(λ)=(λ+2)(λ-2)^2,它有三個(gè)線性無關(guān)的特征向量,則屬于特征值2的特征子空間是2維的,因此A的最小多項(xiàng)式是(λ+2)(λ-2),即A^2=4I,比較此等式兩端得x=0.