由題意，此問題的實(shí)質(zhì)是以A為球心、

2 3

3

為半徑的球在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁各個(gè)面上交線的長度計(jì)算，正方體的各個(gè)面根據(jù)與球心位置關(guān)系分成兩類：ABCD、AA₁DD₁、AA₁BB₁為過球心的截面，截痕為大圓弧，各弧圓心角為

π

6

、A₁B₁C₁D₁、B₁BCC₁、D₁DCC₁為與球心距離為1的截面，截痕為小圓弧，由于截面圓半徑為r=

3

3

，故各段弧圓心角為

π

2

．∴這條曲線長度為3?

π

6

?

2 3

3

+3?

π

2

?

3

3

=

5 3

6

π
故答案為

5 3

6

π