高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)匯總
第一部分 集合
（1）含n個(gè)元素的集合的子集數(shù)為2^n,真子集數(shù)為2^n－1；非空真子集的數(shù)為2^n-2；
（2）注意：討論的時(shí)候不要遺忘了 的情況.
（3）
第二部分函數(shù)與導(dǎo)數(shù)
1．映射：注意 ①第一個(gè)集合中的元素必須有象；②一對(duì)一,或多對(duì)一.
2．函數(shù)值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判別式法 ；④利用函數(shù)單調(diào)性 ；
⑤換元法 ；⑥利用均值不等式； ⑦利用數(shù)形結(jié)合或幾何意義（斜率、距離、絕對(duì)值的意義等）；⑧利用函數(shù)有界性（ 、 、 等）；⑨導(dǎo)數(shù)法
3．復(fù)合函數(shù)的有關(guān)問(wèn)題
（1）復(fù)合函數(shù)定義域求法：
① 若f(x)的定義域?yàn)椤瞐,b〕,則復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的定義域由不等式a≤g(x)≤b解出② 若f[g(x)]的定義域?yàn)閇a,b],求 f(x)的定義域,相當(dāng)于x∈[a,b]時(shí),求g(x)的值域.
（2）復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定：
①首先將原函數(shù) 分解為基本函數(shù)：內(nèi)函數(shù) 與外函數(shù) ；
②分別研究?jī)?nèi)、外函數(shù)在各自定義域內(nèi)的單調(diào)性；
③根據(jù)“同性則增,異性則減”來(lái)判斷原函數(shù)在其定義域內(nèi)的單調(diào)性.
注意：外函數(shù) 的定義域是內(nèi)函數(shù) 的值域.
4．分段函數(shù)：值域（最值）、單調(diào)性、圖象等問(wèn)題,先分段解決,再下結(jié)論.
5．函數(shù)的奇偶性
⑴函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件；
⑵ 是奇函數(shù)；
⑶ 是偶函數(shù)；
⑷奇函數(shù) 在原點(diǎn)有定義,則 ；
⑸在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)：奇函數(shù)有相同的單調(diào)性,偶函數(shù)有相反的單調(diào)性；
（6）若所給函數(shù)的解析式較為復(fù)雜,應(yīng)先等價(jià)變形,再判斷其奇偶性；
6．函數(shù)的單調(diào)性
⑴單調(diào)性的定義：
① 在區(qū)間 上是增函數(shù) 當(dāng) 時(shí)有 ；
② 在區(qū)間 上是減函數(shù) 當(dāng) 時(shí)有 ；
⑵單調(diào)性的判定
1 定義法：
注意：一般要將式子 化為幾個(gè)因式作積或作商的形式,以利于判斷符號(hào)；
②導(dǎo)數(shù)法（見(jiàn)導(dǎo)數(shù)部分）；
③復(fù)合函數(shù)法（見(jiàn)2 （2））；
④圖像法.
注：證明單調(diào)性主要用定義法和導(dǎo)數(shù)法.
7．函數(shù)的周期性
(1)周期性的定義：
對(duì)定義域內(nèi)的任意 ,若有（其中 為非零常數(shù)）,則稱函數(shù) 為周期函數(shù), 為它的一個(gè)周期.
所有正周期中最小的稱為函數(shù)的最小正周期.如沒(méi)有特別說(shuō)明,遇到的周期都指最小正周期.
（2）三角函數(shù)的周期
①；②；③ ；
④；⑤ ；
⑶函數(shù)周期的判定
①定義法（試值） ②圖像法③公式法（利用（2）中結(jié)論）
⑷與周期有關(guān)的結(jié)論
① 或的周期為 ；
② 的圖象關(guān)于點(diǎn) 中心對(duì)稱周期為2 ；
③ 的圖象關(guān)于直線 軸對(duì)稱周期為2 ；
④ 的圖象關(guān)于點(diǎn) 中心對(duì)稱,直線 軸對(duì)稱周期為4 ；
8．基本初等函數(shù)的圖像與性質(zhì)
⑴冪函數(shù)：（；⑵指數(shù)函數(shù)： ；
⑶對(duì)數(shù)函數(shù): ；⑷正弦函數(shù): ；
⑸余弦函數(shù)：；（6）正切函數(shù)： ；⑺一元二次函數(shù)： ；
⑻其它常用函數(shù)：
1 正比例函數(shù)： ；②反比例函數(shù)： ；特別的
2 函數(shù)；
9．二次函數(shù)：
⑴解析式：
①一般式： ；②頂點(diǎn)式： , 為頂點(diǎn)；
③零點(diǎn)式：.
⑵二次函數(shù)問(wèn)題解決需考慮的因素：
①開(kāi)口方向；②對(duì)稱軸；③端點(diǎn)值；④與坐標(biāo)軸交點(diǎn)；⑤判別式；⑥兩根符號(hào).
⑶二次函數(shù)問(wèn)題解決方法：①數(shù)形結(jié)合；②分類討論.
10．函數(shù)圖象：
⑴圖象作法 ：①描點(diǎn)法 （特別注意三角函數(shù)的五點(diǎn)作圖）②圖象變換法③導(dǎo)數(shù)法
⑵圖象變換：
1 平移變換：ⅰ ,2———“正左負(fù)右”
ⅱ ———“正上負(fù)下”；
3 伸縮變換：
ⅰ , （ ———縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的 倍；
ⅱ , （ ———橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的 倍；
4 對(duì)稱變換：ⅰ ；ⅱ ；
ⅲ； ⅳ ；
5 翻轉(zhuǎn)變換：
ⅰ ———右不動(dòng),右向左翻（ 在 左側(cè)圖象去掉）；
ⅱ ———上不動(dòng),下向上翻（| |在 下面無(wú)圖象）；
11．函數(shù)圖象（曲線）對(duì)稱性的證明
(1)證明函數(shù) 圖像的對(duì)稱性,即證明圖像上任意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心（對(duì)稱軸）的對(duì)稱點(diǎn)仍在圖像上；
（2）證明函數(shù) 與 圖象的對(duì)稱性,即證明 圖象上任意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心（對(duì)稱軸）的對(duì)稱點(diǎn)在 的圖象上,反之亦然；
注：
①曲線C1:f(x,y)=0關(guān)于點(diǎn)（a,b）的對(duì)稱曲線C2方程為：f(2a－x,2b－y)=0;
②曲線C1:f(x,y)=0關(guān)于直線x=a的對(duì)稱曲線C2方程為：f(2a－x, y)=0;
③曲線C1：f(x,y)=0,關(guān)于y=x+a(或y=－x+a)的對(duì)稱曲線C2的方程為f(y－a,x+a)=0(或f(－y+a,－x+a)=0);
④f(a+x)=f(b－x) （x∈R） y=f(x)圖像關(guān)于直線x= 對(duì)稱；
特別地：f(a+x)=f(a－x) （x∈R） y=f(x)圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱；
⑤函數(shù)y=f(x－a)與y=f(b－x)的圖像關(guān)于直線x= 對(duì)稱；
12．函數(shù)零點(diǎn)的求法：
⑴直接法（求 的根）；⑵圖象法；⑶二分法.
13．導(dǎo)數(shù)
⑴導(dǎo)數(shù)定義：f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)記作 ；
⑵常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式: ①；② ；③ ；
④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ ；
⑧.
⑶導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則：
⑷（理科）復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：
⑸導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：
①利用導(dǎo)數(shù)求切線：注意：ⅰ所給點(diǎn)是切點(diǎn)嗎?ⅱ所求的是“在”還是“過(guò)”該點(diǎn)的切線?
②利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性：
ⅰ是增函數(shù)；ⅱ為減函數(shù)；
ⅲ為常數(shù)；
③利用導(dǎo)數(shù)求極值：ⅰ求導(dǎo)數(shù) ；ⅱ求方程 的根；ⅲ列表得極值.
④利用導(dǎo)數(shù)最大值與最小值：ⅰ求的極值；ⅱ求區(qū)間端點(diǎn)值（如果有）；ⅲ得最值.
14．（理科）定積分
⑴定積分的定義：
⑵定積分的性質(zhì)：①（ 常數(shù)）；
② ；
③（其中 .
⑶微積分基本定理（牛頓—萊布尼茲公式）：
⑷定積分的應(yīng)用：①求曲邊梯形的面積： ；
3 求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程： ；③求變力做功： .
第三部分三角函數(shù)、三角恒等變換與解三角形
1．⑴角度制與弧度制的互化： 弧度 , 弧度, 弧度
⑵弧長(zhǎng)公式： ；扇形面積公式： .
2．三角函數(shù)定義：角 中邊上任意一點(diǎn) 為 ,設(shè) 則：

3．三角函數(shù)符號(hào)規(guī)律：一全正,二正弦,三兩切,四余弦；
4．誘導(dǎo)公式記憶規(guī)律：“函數(shù)名不（改）變,符號(hào)看象限”；
5．⑴ 對(duì)稱軸： ；對(duì)稱中心： ；
⑵ 對(duì)稱軸： ；對(duì)稱中心： ；
6．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系： ；
7．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式：①
② ③.
8．二倍角公式：① ；
② ；③ .
9．正、余弦定理：
⑴正弦定理： （ 是 外接圓直徑 ）
注：① ；② ；③ .
⑵余弦定理： 等三個(gè)；注： 等三個(gè).
10.幾個(gè)公式:
⑴三角形面積公式： ；
⑵內(nèi)切圓半徑r= ；外接圓直徑2R=
11．已知 時(shí)三角形解的個(gè)數(shù)的判定：
第四部分 立體幾何
1．三視圖與直觀圖：注：原圖形與直觀圖面積之比為 .
2．表（側(cè)）面積與體積公式：
⑴柱體：①表面積：S=S側(cè)+2S底；②側(cè)面積：S側(cè)= ；③體積：V=S底h
⑵錐體：①表面積：S=S側(cè)+S底；②側(cè)面積：S側(cè)= ；③體積：V= S底h：
⑶臺(tái)體：①表面積：S=S側(cè)+S上底S下底；②側(cè)面積：S側(cè)= ；③體積：V= （S+ ）h；
⑷球體：①表面積：S= ；②體積：V= .
3．位置關(guān)系的證明（主要方法）：
⑴直線與直線平行：①公理4；②線面平行的性質(zhì)定理；③面面平行的性質(zhì)定理.
⑵直線與平面平行：①線面平行的判定定理；②面面平行 線面平行.
⑶平面與平面平行：①面面平行的判定定理及推論；②垂直于同一直線的兩平面平行.
⑷直線與平面垂直：①直線與平面垂直的判定定理；②面面垂直的性質(zhì)定理.
⑸平面與平面垂直：①定義---兩平面所成二面角為直角；②面面垂直的判定定理.
注：理科還可用向量法.
4.求角：（步驟-------Ⅰ.找或作角；Ⅱ.求角）
⑴異面直線所成角的求法：
1 平移法：平移直線,2 構(gòu)造三角形；
3 ②補(bǔ)形法：補(bǔ)成正方體、平行六面體、長(zhǎng)方體等,4 發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系.
注：理科還可用向量法,轉(zhuǎn)化為兩直線方向向量的夾角.
⑵直線與平面所成的角：
①直接法（利用線面角定義）；②先求斜線上的點(diǎn)到平面距離h,與斜線段長(zhǎng)度作比,得sin .
注：理科還可用向量法,轉(zhuǎn)化為直線的方向向量與平面法向量的夾角.
⑶二面角的求法：
①定義法：在二面角的棱上取一點(diǎn)（特殊點(diǎn)）,作出平面角,再求解；
②三垂線法：由一個(gè)半面內(nèi)一點(diǎn)作（或找）到另一個(gè)半平面的垂線,用三垂線定理或逆定理作出二面角的平面角,再求解；
③射影法：利用面積射影公式： ,其中 為平面角的大?。?
注：對(duì)于沒(méi)有給出棱的二面角,應(yīng)先作出棱,然后再選用上述方法；
理科還可用向量法,轉(zhuǎn)化為兩個(gè)班平面法向量的夾角.
5.求距離：（步驟-------Ⅰ.找或作垂線段；Ⅱ.求距離）
⑴兩異面直線間的距離：一般先作出公垂線段,再進(jìn)行計(jì)算；
⑵點(diǎn)到直線的距離：一般用三垂線定理作出垂線段,再求解；
⑶點(diǎn)到平面的距離：
①垂面法：借助面面垂直的性質(zhì)作垂線段（確定已知面的垂面是關(guān)鍵）,再求解；
5 等體積法；
理科還可用向量法： .
⑷球面距離：（步驟）
（Ⅰ）求線段AB的長(zhǎng)；（Ⅱ）求球心角∠AOB的弧度數(shù)；(Ⅲ)求劣弧AB的長(zhǎng).
6．結(jié)論：
⑴從一點(diǎn)O出發(fā)的三條射線OA、OB、OC,若∠AOB=∠AOC,則點(diǎn)A在平面∠BOC上的射影在∠BOC的平分線上；
⑵立平斜公式(最小角定理公式)：
⑶正棱錐的各側(cè)面與底面所成的角相等,記為 ,則S側(cè)cos =S底；
⑷長(zhǎng)方體的性質(zhì)
①長(zhǎng)方體體對(duì)角線與過(guò)同一頂點(diǎn)的三條棱所成的角分別為 則：cos2 +cos2 +cos2 =1；sin2 +sin2 +sin2 =2.
②長(zhǎng)方體體對(duì)角線與過(guò)同一頂點(diǎn)的三側(cè)面所成的角分別為 則有cos2 +cos2 +cos2 =2；sin2 +sin2 +sin2 =1 .
⑸正四面體的性質(zhì)：設(shè)棱長(zhǎng)為 ,則正四面體的：
1 高： ；②對(duì)棱間距離： ；③相鄰兩面所成角余弦值： ；④內(nèi)切2 球半徑： ；外接球半徑： ；
第五部分 直線與圓
1．直線方程
⑴點(diǎn)斜式：；⑵斜截式：；⑶截距式：；
⑷兩點(diǎn)式： ；⑸一般式： ,（A,B不全為0）.
（直線的方向向量：（ ,法向量（
2．求解線性規(guī)劃問(wèn)題的步驟是：
（1）列約束條件；（2）作可行域,寫(xiě)目標(biāo)函數(shù)；（3）確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解.
3．兩條直線的位置關(guān)系：
4．直線系
5．幾個(gè)公式
⑴設(shè)A（x1,y1）、B(x2,y2)、C（x3,y3）,⊿ABC的重心G：（ ）；
⑵點(diǎn)P（x0,y0）到直線Ax+By+C=0的距離： ；
⑶兩條平行線Ax+By+C1=0與 Ax+By+C2=0的距離是 ；
6．圓的方程：
⑴標(biāo)準(zhǔn)方程：①；②.
⑵一般方程： （
注：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓 A=C≠0且B=0且D2+E2－4AF>0；
7．圓的方程的求法：⑴待定系數(shù)法；⑵幾何法；⑶圓系法.
8．圓系：
⑴；
注：當(dāng) 時(shí)表示兩圓交線.
⑵.
9．點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系：（主要掌握幾何法）
⑴點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：（ 表示點(diǎn)到圓心的距離）
① 點(diǎn)在圓上；② 點(diǎn)在圓內(nèi)；③ 點(diǎn)在圓外.
⑵直線與圓的位置關(guān)系：（ 表示圓心到直線的距離）
① 相切；② 相交；③ 相離.
⑶圓與圓的位置關(guān)系：（ 表示圓心距, 表示兩圓半徑,且 ）
① 相離；② 外切；③ 相交；
④ 內(nèi)切；⑤ 內(nèi)含.
10．與圓有關(guān)的結(jié)論：
⑴過(guò)圓x2+y2=r2上的點(diǎn)M(x0,y0)的切線方程為：x0x+y0y=r2；
過(guò)圓(x-a)2+(y-b)2=r2上的點(diǎn)M(x0,y0)的切線方程為：(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2；
⑵以A(x1,y2)、B(x2,y2)為直徑的圓的方程：(x－x1)(x－x2)+(y－y1)(y－y2)=0.
第六部分 圓錐曲線
1．定義：⑴橢圓： ；
⑵雙曲線： ；⑶拋物線：略
2．結(jié)論
⑴焦半徑：①橢圓： （e為離心率）； （左“+”右“-”）；
②拋物線：
⑵弦長(zhǎng)公式：
；
注：（Ⅰ）焦點(diǎn)弦長(zhǎng)：①橢圓： ；②拋物線： ＝x1+x2+p= ；（Ⅱ）通徑（最短弦）：①橢圓、雙曲線： ；②拋物線：2p.
⑶過(guò)兩點(diǎn)的橢圓、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為： （ 同時(shí)大于0時(shí)表示橢圓, 時(shí)表示雙曲線）；
⑷橢圓中的結(jié)論：
①內(nèi)接矩形最大面積 ：2ab；
②P,Q為橢圓上任意兩點(diǎn),且OP 0Q,則；
③橢圓焦點(diǎn)三角形：． ,（ ）；．點(diǎn)是 內(nèi)心, 交 于點(diǎn) ,則 ；
④當(dāng)點(diǎn) 與橢圓短軸頂點(diǎn)重合時(shí) 最大；
⑸雙曲線中的結(jié)論：
①雙曲線 （a>0,b>0）的漸近線： ；
②共漸進(jìn)線 的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為 為參數(shù), ≠0）；
③雙曲線焦點(diǎn)三角形：． ,（ ）；．P是雙曲線 － =1(a＞0,b＞0)的左（右）支上一點(diǎn),F1、F2分別為左、右焦點(diǎn),則△PF1F2的內(nèi)切圓的圓心橫坐標(biāo)為 ；
④雙曲線為等軸雙曲線漸近線為漸近線互相垂直；
（6）拋物線中的結(jié)論：
①拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)弦AB性質(zhì)：． x1x2= ；y1y2=－p2；
．；．以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；．以AF（或BF）為直徑的圓與 軸相切；． .
②拋物線y2=2px(p>0)內(nèi)結(jié)直角三角形OAB的性質(zhì)：
．； ． 恒過(guò)定點(diǎn) ；
． 中點(diǎn)軌跡方程： ；． ,則 軌跡方程為： ；．.
③拋物線y2=2px(p>0),對(duì)稱軸上一定點(diǎn) ,則：
．當(dāng) 時(shí),頂點(diǎn)到點(diǎn)A距離最小,最小值為 ；．當(dāng) 時(shí),拋物線上有關(guān)于 軸對(duì)稱的兩點(diǎn)到點(diǎn)A距離最小,最小值為 .
3．直線與圓錐曲線問(wèn)題解法：
⑴直接法（通法）：聯(lián)立直線與圓錐曲線方程,構(gòu)造一元二次方程求解.
注意以下問(wèn)題：
①聯(lián)立的關(guān)于“ ”還是關(guān)于“ ”的一元二次方程?
②直線斜率不存在時(shí)考慮了嗎?
③判別式驗(yàn)證了嗎?
⑵設(shè)而不求（代點(diǎn)相減法）：--------處理弦中點(diǎn)問(wèn)題
步驟如下：①設(shè)點(diǎn)A(x1,y1)、B(x2,y2)；②作差得 ；③解決問(wèn)題.
4．求軌跡的常用方法：（1）定義法：利用圓錐曲線的定義； （2）直接法（列等式）；（3）代入法（相關(guān)點(diǎn)法或轉(zhuǎn)移法）；⑷待定系數(shù)法；（5）參數(shù)法；（6）交軌法.
第七部分平面向量
⑴設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),則： ① a‖b(b≠0) a= b （x1y2－x2y1=0；
② a⊥b(a、b≠0) a•b=0 x1x2+y1y2=0 .
⑵a•b=|a||b|cos=x2+y1y2；
注：①|(zhì)a|cos叫做a在b方向上的投影；|b|cos叫做b在a方向上的投影；
6 a•b的幾何意義：a•b等于|a|與|b|在a方向上的投影|b|cos的乘積.
⑶cos= ；
⑷三點(diǎn)共線的充要條件：P,A,B三點(diǎn)共線；
附：（理科）P,A,B,C四點(diǎn)共面.
第八部分?jǐn)?shù)列
1．定義：
⑴等差數(shù)列 ；
⑵等比數(shù)列
；
2．等差、等比數(shù)列性質(zhì)
等差數(shù)列 等比數(shù)列
通項(xiàng)公式
前n項(xiàng)和
性質(zhì)①an=am+ (n－m)d,①an=amqn-m;
②m+n=p+q時(shí)am+an=ap+aq ②m+n=p+q時(shí)aman=apaq
③ 成AP ③ 成GP
④ 成AP, ④ 成GP,
等差數(shù)列特有性質(zhì)：
1 項(xiàng)數(shù)為2n時(shí)：S2n=n(an+an+1)=n(a1+a2n)；； ；
2 項(xiàng)數(shù)為2n-1時(shí)：S2n-1=(2n-1) ；； ；
3 若 ；若 ；
若 .
3．?dāng)?shù)列通項(xiàng)的求法：
⑴分析法；⑵定義法（利用AP,GP的定義）；⑶公式法：累加法（ ；
⑷疊乘法（ 型）；⑸構(gòu)造法（ 型）；（6）迭代法；
⑺間接法（例如： ）；⑻作商法（ 型）；⑼待定系數(shù)法；⑽（理科）數(shù)學(xué)歸納法.
注：當(dāng)遇到 時(shí),要分奇數(shù)項(xiàng)偶數(shù)項(xiàng)討論,結(jié)果是分段形式.
4．前 項(xiàng)和的求法：
⑴拆、并、裂項(xiàng)法；⑵倒序相加法；⑶錯(cuò)位相減法.
5．等差數(shù)列前n項(xiàng)和最值的求法：
⑴ ；⑵利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì).
第九部分不等式
1．均值不等式：
注意：①一正二定三相等；②變形, .
2．絕對(duì)值不等式：
3．不等式的性質(zhì)：
⑴ ；⑵ ；⑶ ；
；⑷ ； ；
；⑸ ；（6）
.
4．不等式等證明（主要）方法：
⑴比較法：作差或作比；⑵綜合法；⑶分析法.
第十部分 復(fù)數(shù)
1．概念：
⑴z=a+bi∈R b=0 (a,b∈R) z= z2≥0；
⑵z=a+bi是虛數(shù) b≠0(a,b∈R)；
⑶z=a+bi是純虛數(shù) a=0且b≠0(a,b∈R) z＋ ＝0（z≠0） z20時(shí),變量 正相關(guān)；