沒(méi)錯(cuò),實(shí)數(shù)集是有理數(shù)集和無(wú)理數(shù)集的并,但是用這個(gè)“定義”是無(wú)法解決樓主的問(wèn)題的.
實(shí)數(shù)集R的真正定義是：一切收斂的有理數(shù)數(shù)列的極限點(diǎn)的全體.
由此定義無(wú)理數(shù)集：不是有理數(shù)的實(shí)數(shù)叫做無(wú)理數(shù).
所以樓主的問(wèn)題是：為什么數(shù)軸上的點(diǎn)和實(shí)數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的?
當(dāng)數(shù)軸上原點(diǎn)O取定以后,對(duì)于O右方的任一點(diǎn)M,線段OM的長(zhǎng)度就是M的坐標(biāo)x,由于線段OM的長(zhǎng)度|OM|（不論它數(shù)否有理數(shù)）都可以用一列有理數(shù)(r n)無(wú)限逼近,即x=lim (r n),所以按定義知x是實(shí)數(shù).由此O右方的任一點(diǎn)M對(duì)應(yīng)了一個(gè)實(shí)數(shù)x.
同理可說(shuō)明對(duì)于O左方的任一點(diǎn)M也對(duì)應(yīng)一個(gè)實(shí)數(shù).
反過(guò)來(lái),給定一個(gè)實(shí)數(shù)x,如果x>0,則對(duì)應(yīng)了O點(diǎn)右方距離為x的點(diǎn)M.如果x關(guān)于“線段OM的長(zhǎng)度|OM|（不論它數(shù)否有理數(shù)）都可以用一列有理數(shù)(r n)無(wú)限逼近，即x=lim (r n)”這個(gè)r（n）大概是怎么構(gòu)造的。。。這方面有什么參考資料的話更好比方說(shuō)x是一個(gè)無(wú)理數(shù)，必定是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，取r(n)是x的第n位去尾小數(shù)，則x=lim r(n).