設(shè)A是n階正定矩陣,求證:存在n階可逆矩陣P使得A=PtP

數(shù)學(xué)人氣：690 ℃時(shí)間：2020-07-07 01:01:18

優(yōu)質(zhì)解答

A是n階正定矩陣.∴A的特征值全部是正數(shù)：λ1,λ2,……λn
存在正交矩陣Q [Q^﹙-1﹚＝Q'] 使Q'AQ＝diag﹙λ1,λ2,……λn﹚
而diag﹙λ1,λ2,……λn﹚＝diag﹙√λ1,√λ2,……√λn﹚×diag﹙√λ1,√λ2,……√λn﹚
A＝Qdiag﹙λ1,λ2,……λn﹚Q'
＝[Qdiag﹙√λ1,√λ2,……√λn﹚]×[diag﹙√λ1,√λ2,……√λn﹚Q']
取P＝diag﹙√λ1,√λ2,……√λn﹚Q' [顯然可逆]
則A＝P'P