證明不等式：x/(1+x)

數(shù)學(xué)人氣：110 ℃時間：2020-02-20 16:40:47

優(yōu)質(zhì)解答

先看右邊：
兩相除,再同時去以e為底指數(shù),之后對e^x作麥克勞琳展開（其實就是證明e^x的增長速度大于1+x）
ln(1+x)/x=(1+x)/e^x=(1+x)/(1+x+x^2/2+x^3/6+.)<1
所以ln(1+x)在看左邊：
在x=0時x/(1+x)=ln(1+x)=0;
當(dāng)x>0時
對x/(1+x)和ln(1+x)分別求導(dǎo)數(shù),
[1/(1+x)]'=[(1+x)-x/(1+x)^2]=1/[(1+x)^2]
[ln(1+x)]'=[1/(1+x)]
兩導(dǎo)數(shù)作比：[1/(1+x)]'/[ln(1+x)]'=1/[(1+x)^2]/[1/(1+x)]=1/(1+x)<1
所以,在x>0時,x/(1+x)的增長速度小于ln(1+x),而在x=0出兩者相等.
所以x/(1+x)證畢.