先來銳角.
連接OB,OC,因為作OD⊥BC于點D,因為OB=OC,所以△BOC是等腰三角形,BC邊上的高平分∠BOC,即:∠BOC=2∠BOD.點D平分BC.即:BD=(1/2)BC=(1/2)a----①
所以BD=Rsin∠BOD ----------②
而由圓心角=2倍圓周角可得∠BOC=2∠A,因此∠BOD=∠A-----③
①③代入②式,得(1/2)a=RsinA,即a=2RsinA
同理可證:b=2RsinB,c=2RsinC
直角就更簡單了.
假設(shè)AC為斜邊,則AC=2R,∠B=90°
a=ACsinA=2RsinA,
c=ACsinC=2RsinC,
b=2R=2RsinB
其他邊為斜邊的情況同理可證.
鈍角的情況:
假設(shè)∠B為鈍角,a=2RsinA,c=2RsinC的證法和銳角三角形的證法一樣,作高,以下省略.(這個不用重復了吧?)
關(guān)于b=2RsinB的證法:
也是從點O作OM⊥AC于點M.邊AC的圓周角=π-∠B=(1/2)∠AOC
所以∠COM=(1/2)∠AOC=π-∠B
(1/2)b=CM=Rsinπ-∠B=RsinB
所以b=2RsinB
其他角為鈍角的情況同理可證