AB均為實(shí)對稱矩陣,且AB=BA,如果A有n個(gè)互異的特征值,證明,存在正交矩陣P使P'AP與P'BP均為對角陣

數(shù)學(xué)人氣：839 ℃時(shí)間：2020-03-19 05:29:20

優(yōu)質(zhì)解答

假定你所說的“AB均為實(shí)對稱矩陣”其實(shí)是“A和B均為實(shí)對稱矩陣”
先取正交陣P使得P'AP＝D是對角陣
令C＝P‘BP,由條件知DC＝CD,把每個(gè)元素都寫出來,再利用D的對角元兩兩不同即得C是對角陣
事實(shí)上即使去掉“A有n個(gè)互異的特征值”這個(gè)條件結(jié)論仍然是成立的,只不過是證明還要多加一步而已A和B均為實(shí)對稱矩陣，如果去掉條件：A有n個(gè)互異的特征值要怎么證明呢？取正交陣Q使得Q‘AQ＝D，且D的對角元按大小次序排列，把相同的特征值放到一起構(gòu)成一個(gè)塊然后C＝Q’BQ，比較一下DC＝CD得到C是塊對角陣，然后再把每個(gè)對角塊進(jìn)一步對角化即可