命題需要A是實(shí)矩陣才成立

證明:
(1)設(shè)X1是AX=0的解, 則AX1=0
所以A^TAX1=A^T(AX1)=A^T0=0
所以X1是A^TAX=0的解.
故 Ax=0 的解是 A^TAX=0 的解.

(2)設(shè)X2是A^TAX=0的解, 則A^TAX2=0
等式兩邊左乘 X2^T得 X2^TA^TAX2=0
所以有 (Ax2)^T(Ax2)=0
所以 AX2=0. [長(zhǎng)度為0的實(shí)向量必為0向量, 此時(shí)用到A是實(shí)矩陣]
所以X2是AX=0的解.
故A^TAX=0的解是AX=0的解.

綜上知齊次線性方程組AX=0與A^TAX=O是同解方程組.
所以它們的基礎(chǔ)解系所含向量的個(gè)數(shù)相同
故有r(A) = r(A^TA)