（Ⅰ）因為f（-1）=0，所以a-b+1=0．（1分）
因為方程f（x）=0有且只有一個根，所以△=b²-4a=0．
所以b²-4（b-1）=0．即b=2，a=1．（3分）
所以f（x）=（x+1）²．（4分）
（Ⅱ）因為g（x）=f（x）-kx=x²+2x+1-kx=x²-（k-2）x+1
=(x?

k?2

2

)2+1?

(k?2)2

4

．（6分）
所以當

k?2

2

≥2或

k?2

2

≤?2時，
即k≥6或k≤-2時，g（x）是單調(diào)函數(shù)．（9分）
（Ⅲ）f（x）為偶函數(shù)，所以b=0．所以f（x）=ax²+1．
所以F(x)＝

ax2+1x＞0 ?ax2?1x＜0.

（10分）
因為mn＜0，不妨設m＞0，則n＜0．
又因為m+n＞0，所以m＞-n＞0．
所以|m|＞|-n|．（12分）
此時F（m）+F（n）=f（m）-f（n）=am²+1-an²-1=a（m²-n²）＞0．
所以F（m）+F（n）＞0．（14分）