（Ⅰ）因為f（x）=ax2+bx+c,所以f'（x）=2ax+b．
又曲線y=f（x）在點（-1,f（-1））處的切線垂直于y軸,故f'（-1）=0,
即-2a+b=0,因此b=2a．①
因為f（-1）=0,所以b=a+c．②
又因為曲線y=f（x）通過點（0,2a+3）,
所以c=2a+3．③
解由①,②,③組成的方程組,得a=-3,b=-6,c=-3．
從而f（x）=-3x2-6x-3．
所以F(x)= -3(x+1)2 x＞0 3(x+1)2 x＜0.（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=-3x2-6x-3,
所以g（x）=kx-f（x）=3x2+（k+6）x+3．
由g（x）在[-1,1]上是單調(diào)函數(shù)知：-k+6 6 ≤-1或-k+6 6 ≥1,
得k≤-12或k≥0
（Ⅲ）因為f（x）是偶函數(shù),可知b=0．
因此．
又因為mn＜0,m+n＞0,
可知m,n異號．
若m＞0,則n＜0．
則F（m）+F（n）=f（m）-f（n）=am2+c-an2-c=a（m+n）（m-n）＞0．
若m＜0,則n＞0．
同理可得F（m）+F（n）＞0．
綜上可知F（m）+F（n）＞0．