由題目的要求可知F(y+z,xy+yz)=0所確定的函數(shù)是z=z(x,y).
一、先求一階偏導(dǎo)數(shù)：為方便表示,設(shè)u=y+z, v=xy+yz,對F(y+z,xy+yz)=0兩邊關(guān)于x求偏導(dǎo)得：
(∂F/ ∂u)*(∂z/∂x)+(∂F/ ∂v)*(y+y*∂z/ ∂x)=0,
整理得一階偏導(dǎo)數(shù)：
∂z/ ∂x=-(∂F/ ∂v)*y/[(∂F/ ∂u+y*(∂F/ ∂v))]；
二、再求二階偏導(dǎo)：
對(∂F/ ∂u)*(∂z/ ∂x)+(∂F/ ∂v)*(y+y*∂z/ ∂x)=0兩邊關(guān)于x求偏導(dǎo)得：
(∂F/ ∂u)*(∂^2z/ ∂x^2)+(∂^2F/ ∂u^2)*(∂z/ ∂x)^2+2*(∂^2F/ ∂u∂v)*(∂z/ ∂x)*(y+y*∂z/ ∂x)+(∂^2F/ ∂v^2)*(y+y*∂z/ ∂x)^2+(∂F/ ∂v)*(y*∂^2z/ ∂x^2)=0,
整理可得：
∂^2z/ ∂x^2=-[(∂^2F/ ∂u^2)*(∂z/ ∂x)^2+2*(∂^2F/ ∂u∂v)*(∂z/ ∂x)*(y+y*(∂z/ ∂x))+(∂^2F/ ∂v^2)*(y+y*(∂z/ ∂x))^2] / [(∂F/ ∂u+y*(∂F/ ∂v))],
然后將∂z/ ∂x=-(∂F/ ∂v)*y/[(∂F/ ∂u+y*(∂F/ ∂v))]帶入上式就得到所要的結(jié)果了.