若對于定義在R上的連續(xù)函數(shù)f（x），存在常數(shù)a（a∈R），使得f（x+a）+af（x）=0對任意的實數(shù)x成立，則稱f（x）是回旋函數(shù)，且階數(shù)為a．
（Ⅰ）試判斷函數(shù)f（x）=x2是否是一個回旋函數(shù)；
（Ⅱ）已知f（x）=sinωx是回旋函數(shù)，求實數(shù)ω的值；
（Ⅲ）若對任意一個階數(shù)為a的回旋函數(shù)f（x），方程f（x）=0均有實數(shù)根，求a的取值范圍．
（Ⅰ）若（x+a）
2+ax
2=0對任意實數(shù)都成立，令x=0，則必須有a=0
令x=1，則有a
2+3a+1=0，顯然a=0不是這個方程的解故假設(shè)不成立，該函數(shù)不是回旋函數(shù)．
（Ⅱ）由于f（x）=sinwx是回旋函數(shù)，故有：sinw（x+a）+asinwx=0對任意實數(shù)x成立
令x=0，可得sinwa=0，令x=
，可得coswa=-a，故a=±1，w=kπ（k為整數(shù)）
（Ⅲ）如果a=0，顯然f（x）=0，則顯然有實根．
下面考慮a≠0的情況．
若存在實根x
0，則f（x
0+a）+af（x
0）=0，即f（x
0+a）=0說明實根如果存在，那么加a也是實根．因此在區(qū)間（0，a）上必有一個實根．則：f（0）f（a）＜0
由于f（0+a）+af（0）=0，則f（0）=
，只要a＞0，即可保證f（0）和f（a）異號．
綜上a≥0