加絕對(duì)值變成∑（n=1→∞）(1-cos(a/根號(hào)n))
用比較判別法的極限形式,n-->無(wú)窮大
lim(1-cos(a/根號(hào)n))/(1/n^2)=lim(1/2(a/n)^2)/(1/n^2)=1/2a^2
因此級(jí)數(shù)斂散性與 ∑(1/n^2)相同,而∑(1/n^2)收斂,則原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂看錯(cuò)了，沒(méi)看見(jiàn)那個(gè)根號(hào)1-cos(a/根號(hào)n)的等價(jià)無(wú)窮小是(1/2)a^2/n重做本題，上面作廢lim(1-cos(a/根號(hào)n))/(1/n)=lim(1/2a^2/n)/(1/n)=1/2a^2因此級(jí)數(shù)斂散性與 ∑(1/n)相同，而∑(1/n)發(fā)散，則原級(jí)數(shù)加絕對(duì)值后發(fā)散但由于∑(-1)^(n-1)(1/n)是條件收斂的，因此原級(jí)數(shù)條件收斂。因?yàn)閚-->無(wú)窮大時(shí)，1-cos(a/根號(hào)n)的極限為0，所以可以用等價(jià)無(wú)窮小代換∑(-1)^(n-1)(1/n)是條件收斂的原因是用萊布尼茲判別法判斷的由于原級(jí)數(shù)與它是同階無(wú)窮小，因此用萊布尼茲判別法也是可以判別的。這個(gè)沒(méi)有定理的，但如果你用萊布尼茲判別法來(lái)判斷原級(jí)數(shù)，與判斷∑(-1)^(n-1)(1/n)的效果肯定是一樣的，因?yàn)槿R布尼茲判別法主要就是看是否正負(fù)相間，這個(gè)比較顯然，還有就是絕對(duì)值是否遞減，它們既然是同階無(wú)窮小，這種遞減關(guān)系肯定是一致的，所以拿這個(gè)判斷也行。如果你認(rèn)為沒(méi)有定理支持就不想用，那也可以對(duì)原級(jí)數(shù)用萊布尼茲判別法，也不是太難。