解法1：

    想象一下：如果兩條互相垂直的弦并不分別與兩條互相垂直的坐標(biāo)軸平行,我們可以將坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)適當(dāng)?shù)慕嵌?使得其中一條弦平行于x軸,另一條弦平行于y軸.

而這兩條弦的交點(diǎn)的軌跡是x²+y²=3；

不妨設(shè)這個(gè)交點(diǎn)為（√3Cosθ,√3Sinθ）(θ∈[0,2π))

      平行于x軸的弦的長度為a=2√(2²-(√3Cosθ)²)

同理：平行于y軸的弦的長度為b=2√(2²-(√3Sinθ)²)     

      ab=4√(4-3Cos²θ)(4-3Sin²θ)

        =4√(16-12(Sin²θ+Cos²θ)+9Sin²θCos²θ)

        =4√(4+9/4(2SinθCosθ)²)

        =4√(4+9/4Sin²2θ)

        ≤4√(4+9/4*1)(當(dāng)θ=π/4,3π/4,5π/4,7π/4時(shí)等號成立)

        =10

四邊形ABCD的面積S=1/2(AM*MB+BM*MC+CM*MD+DM*MA)

                 =1/2(AM+MC)(BM*MD)

                 =1/2*AC*BD

                 =1/2ab

                 =5

解法2：

不用解析法的方法來求解,如圖：

AC丄BD于M,OE丄AC于E,OF丄BD于F

AC=2√(4-OE^2)

BD=2√(4-OF^2)

四邊形ABCD最大值即為AC*BD/2

而OE^2+OF^2

=OM^2

=(1^2+(√2)^2)

=3

所以AC*BD

=2√((1+OE^2)(4-OE^2))

=2√(-(OE^2-1.5)^2+6.25)<=2√6.25

=5

解法3：

就是求兩弦乘積最大

設(shè)原點(diǎn)到兩弦距離分別為D,d,

則D²＋d²=3,

面積=1/2×2√4－D²×2√4－d²

=2√(4-D²)(4-d²)

<=4-D²＋4-d²

=8-(D²＋d²)

=5

滿意還望采納,謝謝!