π(a) π(b)
π(a) π(b)為柏松分布
則P{X=k} = (a^k)e^(-a)/k!P{Y=m} = (b^m)e^(-b)/m!
k,m=0,1,2.
因?yàn)閄,Y相互獨(dú)立
則他們的聯(lián)合分布P{X=k,Y=m}=P{X=k} P{Y=m}
P{X+Y=n}=∑P{X=i,Y=n-i} i=0,1,2,...,n
=∑P{X=i}P{Y=n-i}=∑[(a^i)e^(-a)/i!][(b^(n-i))e^(-b)/(n-i)!]
=(e^(-a-b)b^n)∑(a/b)^i/(i!(n-i)!)=[(e^(-a-b)b^n)/n!]∑(a/b)^i*[n!/(i!(n-i)!)]
注意到求和符號后的的每一項(xiàng)其實(shí)是(1+a/b)^n的二項(xiàng)式展開
所以原式=(e^(-a-b)b^n/n!)*(1+a/b)^n=(e^(-a-b)(b+a)^n)/n!
所以X+Y~π(a+b)
證畢