這道題在不同的階段可以有不同的方法.
如果學了Jordan標準型和矩陣的最小多項式,可以用:
矩陣可對角化的充要條件是其最小多項式無重根(即Jordan塊都是1階的).
由A²-A = 2E,知x²-x-2 = (x-2)(x+1)是A的一個化零多項式.
注意到該多項式?jīng)]有重根,而最小多項式必為化零多項式的因式,可知A的最小多項式?jīng)]有重根.
因此A可對角化.
如果是沒學Jordan標準型,可以用:
矩陣可對角化的充要條件是其任意特征值的幾何重數(shù) = 代數(shù)重數(shù).
這里特征值λ的幾何重數(shù)是指AX = λX的解空間維數(shù),
代數(shù)重數(shù)是指其作為A的特征多項式的根的重數(shù)(可證明幾何重數(shù) ≤ 代數(shù)重數(shù)).
因為屬于不同特征值的特征向量線性無關(guān),上述條件等價于可以找到n個線性無關(guān)的特征向量.
由A²-A = 2E,知(A+E)(A-2E) = 0.
于是r(A+E)+r(A-2E)-n ≤ r((A+E)(A-2E)) = 0,即r(A+E)+r(A-2E) ≤ n.
-1作為A的特征值的幾何重數(shù) = n-r(A+E),而2的幾何重數(shù) = n-r(A-2E).
于是由n ≥ -1的代數(shù)重數(shù)+2的代數(shù)重數(shù)
≥ -1的幾何重數(shù)+2的幾何重數(shù)
= n-r(A+E)+n-r(A-2E)
≥ n,
可知A沒有-1,2以外的特征值,且-1和2的幾何重數(shù) = 代數(shù)重數(shù),因此A可對角化.