已知扇形OAB的半徑為1,圓心角為60度,求一邊在半徑上的內(nèi)接矩形面積的最大值
設(shè)P點(diǎn)在弧AB上,設(shè)角POB=x,那么:
過P做PE垂直O(jiān)B于E,并且設(shè)內(nèi)接四邊形是PEFG,那么:
PE=OP*sinx=Rsinx.
OE=OP*cosx=Rcosx.
而且PG=EF=OE-OF
在直角三角形OFG中,有角FOG=60度,所以:
OF=(根號(hào)3/3)GF=(根號(hào)3/3)PE.
所以EF=OE-OF=Rcosx-(根號(hào)3/3)*(Rsinx).
所以若面積函數(shù)為S(x),有:
S(x)=Rsinx*[Rcosx-(根號(hào)3/3)*(Rsinx)]
=R*R[sinx*cosx-(根號(hào)3/3)sinx*sinx]
=R*R[(1/2)sin2x+(根號(hào)3/6)cos2x-(根號(hào)3/6)] (引進(jìn)輔助角,Pi是圓周率)
=R*R[(根號(hào)3/3)*sin(2x+Pi/6)-(根號(hào)3/6)]
所以最大值就是x=Pi/6的時(shí)候取到,又R=1
所以最大值S(x)=(根號(hào)3/6)*R*R=根號(hào)3/6