從您的解題過(guò)程猜測(cè)原題可能是 x->0, lim[ 1/x^2 - (cotx)^2]
錯(cuò)誤的原因是等價(jià)無(wú)窮小只能替換因式,你上面的替換分子就有問(wèn)題了,分母的替換是正確的.
lim[ 1/x^2 - (cotx)^2]
=lim[ 1/x^2 - (cscx)^2] +1 (利用(cscx)^2 =(cotx)^2+1)
=lim[ (sinx)^2 - x^2] / [x^2* (sinx)^2] + 1 (通分)
=lim[ (sinx)^2 - x^2] / (x^4) + 1 （分母等價(jià)無(wú)窮小替換）
=lim[ 2sinxcosx - 2x] /(4x^3) + 1（洛必達(dá)法則）
=lim[ sin2x -2x] / (4x^3) + 1 （三角公式sin2x=2sinxcosx)
=lim[2cos2x - 2] /(12x^2) + 1（洛必達(dá)法則）
= lim(cos2x-1)/ (6x^2) +1
=lim(-2sin2x)/(12x) +1(洛必達(dá)法則,也可用等價(jià)無(wú)窮小）
=lim(-4x)/(12x) +1
=2/3