如圖,已知正方形ABCD中,M是AB的中點(diǎn),E是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn),MN垂直于DM且交角CBE的平分線于N.

如圖,已知正方形ABCD中,M是AB的中點(diǎn),E是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn),MN垂直于DM且交角CBE的平分線于N.
(1)試說(shuō)明MD=MN.
(2)若將上述條件中的“M是AB的中點(diǎn)”改成“M是AB上的任意一點(diǎn)”,其余條件不變,則結(jié)論“MD=MN”成立嗎?若成立,請(qǐng)證明；若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.

數(shù)學(xué)人氣：537 ℃時(shí)間：2019-10-23 10:07:16

優(yōu)質(zhì)解答

（1）在AD上截取AK=AM,則K為AD中點(diǎn),連接KM,下面證明三角形KMD和BNM是全等的：
角BMN+角AMD=90度,角BMN+角ADM=90度,故角BMN=角ADM；角DKM=180-45=135；
角MBN=180-45=135,故DKM=MBN,且DK=MB,所以KMD和BNM是全等的,故DM=MN.
（2）結(jié)論依然成立：同樣在AD上截取AK=AM,同樣連接KM,同樣證明KMD和BNM全等的；
角BMN=角ADM,DK=MB,角DKM=180-45=135,角MBN=180-45=135,故角DKM=角MBN,
所以KMD和BNM是全等的,故DM=MN.

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