實際上在定義 e^(x+iy) 的值具體是多少之前,討論它是沒意義的
而 e^(x+iy)＝e^xcosy＋ie^xsiny 正可以作為單變量的復(fù)變函數(shù) f(z)=e^z 在 z=x+iy 處的定義
所以從這點來看歐拉公式是不需要證明的,你看到的證明是怎么回事呢?
是因為有些時候我們用另一種定義去定義 f(z)=e^z 的值,
那就是用冪級數(shù) f(z)=e^z=1+z+z^2/2+...+z^n/n!+...來定義,
而那個證明就是證明了這兩種定義之間的等價性
現(xiàn)在我們有了復(fù)指數(shù)函數(shù)的定義（而且是出自兩種不同的方式,卻相互和諧的定義）
但是對三角函數(shù),我們還只能處理實變量的情況,現(xiàn)在我們要繼續(xù)推廣出復(fù)變量的三角函數(shù).
因為我們希望復(fù)變量三角函數(shù)仍然滿足歐拉公式 e^z=cosz+isinz
同時注意到 e^(-z)=cos(-z)+isin(-z)=cosz-isinz
所以我們就"順水推舟地"定義 Cosz=(e^z+e^(-z))/2
類似的,定義 Sinz=(e^z-e^(-z))/2i,Tanz=Sinz/Cosz
這樣定義出來的復(fù)變量的三角函數(shù)當然也符合歐拉公式了,不過此時的正余弦函數(shù)失去了“有界性”,即對任意的復(fù)數(shù)w,不能總保證 Sinw 或者 Cosw 的模不大于1
這樣歐拉公式 e^z=Cosz+iSinz 就對任意的復(fù)數(shù)z都成立了.